Variété parallélisable

Une variété différentielle M de classe Ck est dite parallélisable si son fibré tangent est trivial, c'est-à-dire isomorphe, en tant que fibré vectoriel, à M × E {\displaystyle M\times E} , où E {\displaystyle E} est un espace vectoriel de dimension d i m M {\displaystyle dim\,M}

Il revient au même de dire qu'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle ω ∈ Λ 1 ( M ∗ , E ) = { ω : T M ⟶ E  , de classe  C k − 1 et linéaire sur chaque  T x M } {\displaystyle \omega \in \Lambda ^{1}\left(M^{*},E\right)=\{\omega :TM\longrightarrow E{\text{ , de classe }}C^{k-1}{\text{et linéaire sur chaque }}T_{x}M\}} telle que pour tout x ∈ M {\displaystyle x\in M} , ω x : T x M ⟶ E {\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\longrightarrow E} est un isomorphisme d'espaces vectoriels ;

ou encore qu'il existe n {\displaystyle n} champs de vecteurs linéairement indépendants en tout point de M, autrement dit un champ de repères.

Un isomorphisme de fibrés vectoriels entre T M {\displaystyle TM} et M × R d i m M {\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{dimM}} s'appelle un parallèlisme.

Propriétés

Comme toute variété est localement difféomorphe à R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable.
Il s'agit donc d'une propriété globale.

Une variété parallélisable est orientable : un champ de repères fournit gratuitement une orientation.

Si elle est compacte, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle, d'après le théorème de Poincaré-Hopf.


Exemples et contre-exemples

Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable. C'est la seule variété compacte de dimension 2 parallélisable, puisque c'est la seule surface orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle.

La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable, d'après le théorème de Poincaré-Hopf, ou plus simplement d'après le théorème de la boule chevelue, qui assure que tout champ de vecteurs sur S 2 {\displaystyle S^{2}} admet un zéro au moins.

Tout groupe de Lie est une variété parallélisable ; c'est en particulier le cas de la 3-sphère, en tant que groupe des unités des quaternions.

L'exemple de S 3 {\displaystyle S^{3}} est commun à deux situations plus générales :

les seules sphères parallélisables sont S 1 , S 3   et   S 7 {\displaystyle S^{1},\,S^{3}\ {\text{et}}\ S^{7}} [1] ;
toute variété orientable de dimension 3 est parallélisable.

Voir aussi

Références

  1. ↑ R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87-89

Sources

  • Paul Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann Éditeur, 1972
  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences, 2015, p. 113-115.
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