Topologie grossière

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En mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble X est la topologie sur X dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X.

Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble ; intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble » et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.

Propriétés

La topologie grossière est la topologie possédant le moins d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensemble X, la définition d'une topologie supposant précisément que X et l'ensemble vide font partie de ces ouverts.

Parmi les autres propriétés d'un tel espace topologique X :

Les seuls fermés sont l'ensemble vide et X.
La seule base possible de la topologie grossière sur X est {X}.
Si X a au moins deux éléments, ce n'est pas un espace séparé, ni même un espace de Kolmogorov. A fortiori, il n'est pas régulier.
En revanche, il vérifie les axiomes de séparation T_{3 1/2} (donc aussi T₃) et T₄.
N'étant pas séparé, X n'est ni une topologie d'ordre, ni métrisable.
X est quasi-compact.
Toute fonction définie sur un espace topologique et à valeurs dans X est continue.
X est connexe.
Tout point de X admet une base dénombrable, X est à base dénombrable et séparable.
Tout sous-espace de X possède la topologie grossière.
Tout espace quotient de X possède la topologie grossière.
Sur tout produit cartésien d'espaces topologiquement grossiers, la topologie produit est la topologie grossière.
Toute suite de X converge vers tout point de X. En particulier, toute suite possède une sous-suite convergente (la suite elle-même) et X est donc séquentiellement compact.
L'intérieur de tout sous-ensemble de X, à l'exception de X lui-même, est vide.
L'adhérence de tout sous-ensemble non-vide de X est X. Tout sous-ensemble non-vide de X est donc dense dans X, une propriété qui caractérise les espaces topologiquement grossiers.
Si S est un sous-ensemble de X ayant au moins deux points, tout élément de X est un point d'accumulation de S. Si S est formé d'un seul point, ses points d'accumulation sont exactement les autres points de X.
X est un espace de Baire.
Deux espaces grossièrement topologiques sont homéomorphes si et seulement s'ils ont même cardinalité.