Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphisme

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes f : G → G ′ {\displaystyle f:G\to G'} , on peut rendre f {\displaystyle f} injectif en quotientant G {\displaystyle G} par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.

Premier théorème d'isomorphisme[1] —  Soit f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} un morphisme de groupes. Alors f {\displaystyle f} induit un isomorphisme f ^ : G / Ker ⁡ f → Im ⁡ f {\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f} .

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme f {\displaystyle f} se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Diagramme commutatif de la factorisation canonique d'un homomorphisme
Factorisation d'un morphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme[2] —  Soient G {\displaystyle G} un groupe, N {\displaystyle N} un sous-groupe normal de G {\displaystyle G} et H {\displaystyle H} un sous-groupe de G {\displaystyle G} . Alors H ∩ N {\displaystyle H\cap N} est un sous-groupe normal de H {\displaystyle H} , et on a l'isomorphisme suivant :

H / ( H ∩ N ) ≃ H N / N . {\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N.}

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de N {\displaystyle N} contient H {\displaystyle H} (au lieu de le supposer égal à G {\displaystyle G} tout entier).

Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme[3] — Soient G {\displaystyle G} un groupe et N {\displaystyle N} et M {\displaystyle M} deux sous-groupes normaux de G {\displaystyle G} tels que M {\displaystyle M} soit inclus dans N {\displaystyle N} . Alors N / M {\displaystyle N/M} est un sous-groupe normal de G / M {\displaystyle G/M} et on a l'isomorphisme suivant :

( G / M ) / ( N / M ) ≃ G / N . {\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}

Notes et références

  1. ↑ Pour une démonstration, voir par exemple « Premier théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
  2. ↑ Pour une démonstration, voir par exemple « Second théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
  3. ↑ Pour une démonstration, voir par exemple « Troisième théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4

Articles connexes

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