Théorème du consensus

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Variable d'entrée Valeur des fonctions
x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} x y ∨ x ¯ z ∨ y z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee yz} x y ∨ x ¯ z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z}
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1

En algèbre de Boole, le théorème du consensus ou règle du consensus[1] est une identité booléenne (qui correspond à une équivalence de la logique propositionnelle). C'est une règle de simplification des expressions booléennes, avec d'autres comme la règle d'absorption ou celle d'élimination[2].

Énoncé

Le théorème du consensus ou la règle du consensus est l'identité :

x y ∨ x ¯ z ∨ y z = x y ∨ x ¯ z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee yz=xy\vee {\bar {x}}z}

Dans la simplification de formules booléennes, on réduit la partie gauche en la partie droite par la règle :

x y ∨ x ¯ z ∨ y z → x y ∨ x ¯ z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee yz\rightarrow xy\vee {\overline {x}}z} .

Le terme y z {\displaystyle yz} est appelé le consensus ou résolvant des termes x y {\displaystyle xy} et x ¯ z {\displaystyle {\overline {x}}z} . Le consensus de deux conjonctions de littéraux est la conjonction obtenue à partir de tous les littéraux figurant dans celles-ci, en éliminant l'un d'entre eux qui apparaît à la fois sous forme niée dans l'une et non niée dans l'autre. Dans l'identité indiquée, si x est un littéral, et si y et z représentent des conjonctions de littéraux, le consensus de x y {\displaystyle xy} et de x ¯ z {\displaystyle {\bar {x}}z} est donc bien y z {\displaystyle yz} .

L'identité duale est :

( x ∨ y ) ( x ¯ ∨ z ) ( y ∨ z ) = ( x ∨ y ) ( x ¯ ∨ z ) {\displaystyle (x\vee y)({\bar {x}}\vee z)(y\vee z)=(x\vee y)({\bar {x}}\vee z)}

Le résolvant ( y ∨ z ) {\displaystyle (y\vee z)} se déduit des deux disjonctions ( x ∨ y ) {\displaystyle (x\vee y)} et ( x ¯ ∨ z ) {\displaystyle ({\bar {x}}\vee z)} par la règle dite de coupure ou de résolution, d'où la simplification.

Démonstration

L'identité peut être vérifiée par sa table de vérité (donnée ci-dessus). On peut également la démontrer à partir des axiomes d'algèbre de Boole :

x y ∨ x ¯ z ∨ y z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee yz}
= x y ∨ x ¯ z ∨ ( x ∨ x ¯ ) y z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee (x\vee {\bar {x}})yz} (neutre et complément)
= x y ∨ x ¯ z ∨ x y z ∨ x ¯ y z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee xyz\vee {\bar {x}}yz} (distributivité)
= x y ∨ x y z ∨ x ¯ z ∨ x ¯ y z {\displaystyle xy\vee xyz\vee {\bar {x}}z\vee {\bar {x}}yz} (associativité et commutativité)
= x y ∨ x ¯ z {\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z} (absorption, deux fois)

Consensus et réduction de consensus

Le consensus de deux conjonctions de littéraux est une disjonction, cette disjonction contient comme premier membre l'une des conjonctions à laquelle est ajoutée un littéral a {\displaystyle a} et comme deuxième membre l'autre conjonction à laquelle est ajoutée l'opposé du littéral, à savoir a ¯ {\displaystyle {\bar {a}}} . La réduction du consensus est la conjonction des deux termes, sans les littéraux a {\displaystyle a} et a ¯ {\displaystyle {\bar {a}}} et sans les répétitions de littéraux. Par exemple, si le consensus est v x ¯ y z ∨ v w y ¯ z {\displaystyle v{\bar {x}}yz\vee vw{\bar {y}}z} , sa réduction est v w x ¯ z {\displaystyle vw{\bar {x}}z} [3].

Applications

En simplification des expressions booléennes, l'application répétitive de la règle de consensus est au cœur du calcul de la forme canonique de Blake (en)[3].

En conception de circuits digitaux, la simplification par consensus d'un circuit élimine les risques de compétition[4].

Histoire

Le concept de consensus a été introduit[5] par Archie Blake en 1937 dans sa thèse[6], dont un compte-rendu d'une page est paru en [7]. Le concept est redécouvert par Edward W. Samson et Burton E. Mills en 1954, et publié dans un rapport de l’Armée de l'Air américaine[8]. Il est publié par Willard Quine en 1955[9],[10]. C'est Quine qui introduit le terme de « consensus ». L’opération est aussi appelée parfois « résolvant » depuis que J. A. Robinson l’a utilisé, dans une forme plus générale, mais pour des clauses plutôt que pour des impliquants, comme base de son « principe de résolution » en preuve de théorèmes[11].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Consensus theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Brown 2003, p. 44.
  2. ↑ Roth et Kinney 2014, 2.6 Simplification theorems p. 46-47 et 3.3 The Consensus Theorem, p. 70 et suiv..
  3. ↑ a et b Brown 2003, p. 81.
  4. ↑ (en) Mohamed Rafiquzzaman, Fundamentals of Digital Logic and Microcontrollers, Hoboken, N.J., Wiley, , 6e éd., 512 p. (ISBN 978-1-118-85579-9 et 1-118-85579-5, lire en ligne), p. 75
  5. ↑ (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 4A : Combinatorial Algorithms, Part 1, Addison-Wesley, (ISBN 978-0-201-03804-0 et 0-201-03804-8, présentation en ligne), p. 539 ; solution de l'exercice 7.1.1.31, section References.
  6. ↑ (en) Archie Blake, Canonical expressions in Boolean algebra, University of Chicago, Dept. of Mathematics, .
  7. ↑ J. C. C. McKinsey, « Archie Blake. Canonical expressions in Boolean algebra », J. Symb. Logic, vol. 3, no 2,‎ , p. 93 (DOI 10.2307/2267634, JSTOR 2267634), accès libre.
  8. ↑ (en) Edward W. Samson et Burton E. Mills, Air Force Cambridge Research Center Technical Report 54-21, avril 1954.
  9. ↑ (en) Willard Quine, « A way to simplify truth functions », Amer. Math. Monthly, vol. 62, no 9,‎ , p. 627-631 (DOI 10.2307/2307285, JSTOR 2307285, MR MR75886).
  10. ↑ Quine reconnaît l'antériorité du travail de Samson et Mills dans une note en bas de page de son article.
  11. ↑ (en) J. Alan Robinson, « A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle », Journal of the ACM, vol. 12, no 1,‎ , p. 23-41.

Bibliographie

  • (en) Frank Markham Brown, Boolean Reasoning : The Logic of Boolean Equations, Mineola, N.Y., Dover Publications, , 2e éd., 291 p. (ISBN 978-0-486-42785-0, lire en ligne)
  • (en) Charles H. Roth Jr. et Larry L. Kinney, Fundamentals of Logic Design, Stamford, CT, Cengage Learning, , 7e éd. (1re éd. 2004), 816 p. (ISBN 978-1-133-62847-7, lire en ligne).
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