Théorème de suspension de Freudenthal

Le théorème de suspension de Freudenthal est un théorème de mathématiques démontré en 1937 par Hans Freudenthal[1]. C'est un résultat fondamental sur l'homotopie, qui explique le comportement des groupes d'homotopie d'un espace pointé lorsqu'on en prend la suspension et qui conduit à la théorie de l'homotopie stable.

Énoncé

Soit X un CW-complexe pointé n-connexe. L'application X → Ω(X ∧ S1), où Ω désigne le foncteur espace des lacets et ∧ le smash-produit, induit un morphisme de groupes

πk(X) → πk(Ω(X ∧ S1)) ≃ πk+1(X ∧ S1).

Le théorème de suspension dit que ce morphisme est bijectif si k ≤ 2n et surjectif si k = 2n + 1[2].

Corollaires

  • La n-sphère Sn étant (n – 1)-connexe, le groupe πn+k(Sn) est indépendant de n pour n ≥ k + 2[3]. Ce groupe est appelé le k-ième groupe d'homotopie stable des sphères.
  • Plus généralement, pour k ≥ 1 fixé et pour n ≥ k/2, on peut définir de même les groupes d'homotopie stable de tout espace X n-connexe. Ce sont en fait les groupes d'homotopie du spectre (en) associé à X.

Notes et références

  1. ↑ (de) H. Freudenthal, « Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen », Compositio, vol. 5,‎ , p. 299-314 (lire en ligne)
  2. ↑ (en) Paul G. Goerss et John F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 174), (lire en ligne), p. 175
  3. ↑ (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, , 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 360
  • (en) George W. Whitehead, « On the Freudenthal Theorems », Ann. Math., vol. 57, no 2,‎ (JSTOR 1969855)
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Freudenthal suspension theorem » (voir la liste des auteurs).
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