Théorème de Weierstrass-Casorati

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

Énoncé

On dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en $a$ lorsque le développement en série de Laurent admet une infinité de termes de la forme $a_{-n}/(s-a)^{n}$ . Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point $a$ est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de $1/(s-a)$ (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement : il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque $D(a,r)$ épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en $a$ .

Alors, pour tout $k$ inclus dans $]0,r[$ , l'ensemble $f(D(a,k)\setminus \{a\})$ est dense dans ℂ.

Démonstration

Par l'absurde, si $f$ a une singularité essentielle en $a$ , supposons qu'il existe $k>0$ tel que $f\left(D(a,k)\setminus \{a\}\right)$ n'est pas dense dans ℂ. Il existe alors $b\in \mathbb {C}$ et $\epsilon >0$ tel que $\left|f(z)-b\right|>\epsilon$ et la fonction $g:z\mapsto 1/(f(z)-b)$ est alors bornée sur $D(a,k)\setminus \{a\}$ . Une conséquence de la formule intégrale de Cauchy nous permet donc d'affirmer que $a$ est une singularité effaçable de $g$ qui peut se prolonger en une fonction ${\tilde {g}}$ holomorphe en $a$ . La fonction $1/{\tilde {g}}$ est alors soit holomorphe en $a$ si ${\tilde {g}}(a)\neq 0$ soit elle possède un pôle si ${\tilde {g}}(a)=0$ mais dans tous les cas cela contredit l'hypothèse de singularité essentielle de $f$ en $a$ .

$f\left(D(a,k)\setminus \{a\}\right)$ est donc nécessairement dense dans ℂ.

Ainsi pour tout $k$ inclus dans $]0,r[$ et pour tout $c$ appartenant à ℂ, il existe une suite $(z_{j})$ de $D(a,k)\setminus \{a\}$ telle que $f(z_{j})$ tend vers $c$ .

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de ℂ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

Exemples

Tracé du module de la fonction $z\mapsto \exp \left(z^{-2}\right)$ . La fonction possède une singularité essentielle en $0$ . On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0

{\displaystyle z\mapsto \exp \left(z^{-2}\right)} — Tracé du module de la fonction $z\mapsto \exp \left(z^{-2}\right)$ . La fonction possède une singularité essentielle en $0$ . On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0

La fonction $g:z\mapsto 1/z$ définie sur ℂ* possède une singularité qui n'est pas essentielle en $0$ (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que $\left|g(z)\right|\to \infty$ quand $z\to 0$ et la fonction $g$ ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
La fonction définie pour tout $z\in \mathbb {C} ^{*}$ par : $f(z)=\exp \left({\frac {1}{z^{2}}}\right)=1+{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{2z^{4}}}+{\frac {1}{6z^{6}}}+{\frac {1}{24z^{8}}}+...$ possède une singularité essentielle en $0$ .
En posant $z=x+iy$ on a $\left|f(z)\right|=\exp \left({\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)$ les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ vérifient donc des équations du type $x^{2}-y^{2}=c\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ où $c$ est une constante, les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ sont donc des lemniscates de Bernoulli.

Une application

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permettent de montrer que les seuls automorphismes biholomorphes de ℂ sont des applications $f$ du type $f(z)=az+b$ avec $a\neq 0$ .

Voir aussi

Bibliographie

(en) Serge Lang, Complex Analysis, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 103), janvier 1999, 485 p. (ISBN 978-0-387-98592-3, lire en ligne)
Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes [détail de l’édition]