Théorème de Koecher-Vinberg

En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957[1] et Ernest Vinberg en 1961[2]. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».

Énoncé

Un cône convexe C {\displaystyle C}  est dit :

  • régulier si  a = 0 {\displaystyle a=0} quand a {\displaystyle a} et  − a {\displaystyle -a} sont dans l'adhérence  C ¯ {\displaystyle {\overline {C}}}  ;
  • autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual C ∗ {\displaystyle C^{*}}  ;
  • homogène si pour tout couple de points a , b ∈ C {\displaystyle a,b\in C} il existe une application linéaire T : A → A {\displaystyle T\colon A\to A}  dont la restriction à C {\displaystyle C} est une bijection C → C {\displaystyle C\to C} et qui vérifie  T ( a ) = b {\displaystyle T(a)=b} .

Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.

Théorème — Il existe une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et les cônes convexes ayant les propriétés suivantes :

  • ouvert ;
  • régulier ;
  • homogène ;
  • autodual.

Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle  A {\displaystyle A}  est l'intérieur de son cône « positif » A + := { a 2 ∣ a ∈ A } {\displaystyle A_{+}:=\{a^{2}\mid a\in A\}} .

Preuve

Voir Koecher 1999[3] ou Faraut et Korányi 1994[4].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Koecher–Vinberg theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (de) Max Koecher, « Positivitätsbereiche im Rn », Amer. J. Math., vol. 97, no 3,‎ , p. 575-596 (DOI 10.2307/2372563).
  2. ↑ (en) E. B. Vinberg, « Homogeneous Cones », Soviet. Math. Dokl., vol. 1,‎ , p. 787-790.
  3. ↑ (en) Max Koecher, The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications, Springer, , 173 p. (ISBN 3-540-66360-6, lire en ligne).
  4. ↑ (en) Jacques Faraut et Adam Korányi, Analysis on Symmetric Cones, Oxford University Press, .
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