Racine carrée de cinq

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En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Éléments introductifs

Définition, notation et prononciation

  • Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et -√5, √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √, est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
  • √5 se note également 51/2 (notation Unicode : 5½).
  • √5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".

Valeur approchée

√5 vaut approximativement

Développement en fraction continue

Le développement en fraction continue simple de √5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS).

Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.

Les réduites successives sont : 2 1 , 9 4 , 38 17 , 161 72 , 682 305 , 2889 1292 … {\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}}\ldots } Elles forment la suite ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} définie par u 0 = 2 , u n + 1 = 2 u n + 5 u n + 2 {\displaystyle u_{0}=2,u_{n+1}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}} .

On a : u n = 5 ( 2 + 5 ) n + 1 + ( 2 − 5 ) n + 1 ( 2 + 5 ) n + 1 − ( 2 − 5 ) n + 1 = ⌊ ( 2 + 5 ) n + 1 ⌉ ⌊ ( 2 + 5 ) n + 1 5 ⌉ {\displaystyle u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}} , où ⌊ x ⌉ {\displaystyle \left\lfloor x\right\rceil } est l'entier le plus proche de x {\displaystyle x} .

Les numérateurs forment la suite A001077 de l'OEIS et les dénominateurs la suite A001076 de l'OEIS.

Calcul d'une valeur approchée

Méthodes générales

Article détaillé : Extraction de racine carrée.

Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de √5, x0 = 2.

La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant √A par la formule de récurrence :

x n + 1 = x n + A x n 2 . {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}}.}

avec ici, A = 5. Par itérations successives, on obtient :

  • x 1 = 2 + 5 2 2 = 9 4 = u 1 = 2 , 25 {\displaystyle x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=u_{1}=2,25}
  • x 2 = 9 4 + 5 4 9 2 = u 3 = 161 72 ≈ 2 , 236 1 {\displaystyle x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}=u_{3}={\frac {161}{72}}\approx 2,236\,1}
  • x 3 = 161 72 + 5 72 161 2 = 51841 23184 = u 7 ≈ 2 , 236 067 977 9. {\displaystyle x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}=u_{7}\approx 2,236\,067\,977\,9.}

On a .

Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS, et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS.

( x n ) {\displaystyle (x_{n})} est une sous-suite de ( u n ) {\displaystyle (u_{n})}  : x n = u ( 2 n − 1 ) {\displaystyle x_{n}=u_{(2^{n}-1)}} , décroissant rapidement vers √5 (convergence quadratique). Une suite croissante associée est ( 5 / x n ) {\displaystyle (5/x_{n})} , d'où l'encadrement : 5 / x n < 5 < x n {\displaystyle 5/x_{n}<{\sqrt {5}}<x_{n}} . Pour n = 3 {\displaystyle n=3} , cet encadrement permet déjà d'obtenir 5 ≈ 2 , 236 067 98 {\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2,236\,067\,98} .

Méthode spécifique

Par la suite de Fibonacci

La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2[1]:

∑ k = 0 ∞ 1 F 2 k = 7 − 5 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}}

Cela donne la formule : 5 = 7 − 2 ( ∑ k = 0 ∞ 1 F 2 k ) {\displaystyle {\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)} qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7e donne les 13 suivantes[a],[b].

Lien avec le nombre d'or

La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or φ = 1 + 5 2 . {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}

On trouve donc 5 = 2 φ − 1 e t 5 = φ + 1 φ . {\displaystyle {\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.}

Preuve de l'irrationalité

Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide. On peut écrire m = 5r, soit 5n2 = (5r)2 = 25r2, n2 = 5r2, soit 5 divise n. Cela nous conduit à une absurdité puisque PGCD(m, n) est alors divisible par 5, contradictoirement avec l'hypothèse PGCD(m, n) = 1.

D’une manière générale, la racine carrée d’un naturel qui n'est pas un carré parfait est un nombre irrationnel.

En effet, supposons qu'un naturel N ait une racine carrée qui s'écrive sous la forme d’une fraction m/n ; l’égalité m2 = Nn2 montre, grâce à l'unicité de la décomposition produit de facteurs premiers, que les exposants de la décomposition de N , qui sont différences de deux nombres pairs, sont pairs, et que donc N est un carré parfait. Comme 5 n'est pas un carré parfait, la racine carrée de 5 est irrationnelle.

Autre expression comme somme de série

En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :

5 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) 5 n {\displaystyle {\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}}

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

  • 1 + 5 = 2 φ = 2 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle 1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}  ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
  • 5 = 5 5 5 … 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}} car 1 3 + 1 3 2 + 1 3 3 + ⋯ = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}} .

Trigonométrie

Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

sin ⁡ π 10 = sin ⁡ 18 ∘ = cos ⁡ 2 π 5 = cos ⁡ 72 ∘ = 1 4 ( − 1 + 5 ) , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),}
sin ⁡ π 5 = sin ⁡ 36 ∘ = cos ⁡ 3 π 10 = cos ⁡ 54 ∘ = 1 4 2 ( 5 − 5 ) , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},}
sin ⁡ 3 π 10 = sin ⁡ 54 ∘ = cos ⁡ π 5 = cos ⁡ 36 ∘ = 1 4 ( 1 + 5 ) , {\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),}
sin ⁡ 2 π 5 = sin ⁡ 72 ∘ = cos ⁡ π 10 = cos ⁡ 18 ∘ = 1 4 2 ( 5 + 5 ) , {\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},}
tan ⁡ π 5 = tan ⁡ 36 ∘ = 5 − 2 5 . {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.}

Formules de Ramanujan

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

1 ∣ ∣ 1 + e − 2 π ∣ ∣ 1 + e − 4 π ∣ ∣ 1 + e − 6 π ∣ ∣ 1 + ⋯ = ( 5 + 5 2 − 5 + 1 2 ) e 2 π / 5 = e 2 π / 5 ( φ 5 − φ ) . {\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}
1 ∣ ∣ 1 + e − 2 π 5 ∣ ∣ 1 + e − 4 π 5 ∣ ∣ 1 + e − 6 π 5 ∣ ∣ 1 + ⋯ = ( 5 1 + [ 5 3 / 4 ( φ − 1 ) 5 / 2 − 1 ] 1 / 5 − φ ) e 2 π / 5 . {\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}
4 ∫ 0 ∞ x e − x 5 cosh ⁡ x d x = 1 ∣ ∣ 1 + 1 2 ∣ ∣ 1 + 1 2 ∣ ∣ 1 + 2 2 ∣ ∣ 1 + 2 2 ∣ ∣ 1 + 3 2 ∣ ∣ 1 + 3 2 ∣ ∣ 1 + ⋯ . {\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .}

Articles connexes

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 5 » (voir la liste des auteurs).

Notes

  1. ↑ La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.
  2. ↑ Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.

Références

  1. ↑ (en) Catalin Badea, « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63,‎ , p. 313-323 (lire en ligne).
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