Profondeur d'un module

En algèbre commutative, la profondeur d'un module est une mesure de la taille de son support.

Définition

Soit M un module sur un anneau commutatif A. Un élément a de A est dit M-régulier si le seul vecteur x de M tel que ax = 0 est le vecteur nul. Les éléments A-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers de A (éléments non diviseurs de 0).

Une suite (ordonnée) ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ d'éléments de A est appelée une suite M-régulière si pour tout i < n, ${\displaystyle a_{i}}$ est régulier pour le module ${\displaystyle M/(a_{1}M+...+a_{i-1}M)}$.

Lorsque A est un anneau noethérien, M est de type fini et I est un idéal de A tel que IM ≠ M, le plus grand entier n tel qu'il existe une suite M-régulière d'éléments appartenant à I est appelé la I-profondeur de M. Si de plus A est local d'idéal maximal m, la m-profondeur de M est simplement appelée la profondeur de M.

On dit qu'un anneau noethérien A est un anneau de Cohen-Macaulay si pour tout idéal premier P de A, l'anneau local ${\displaystyle A_{P}}$ est de profondeur (en tant que ${\displaystyle A_{P}}$-module) égale à sa dimension de Krull.

Exemples

1. Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
2. Soit A le localisé de ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy,y^{2})}$ en l'idéal maximal engendré par ${\displaystyle x,y}$. C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.

Propriétés

Soient A, B des anneaux locaux noethériens, ${\displaystyle A\to B}$ un morphisme plat et M un A-module de type fini. Alors

${\displaystyle \mathrm {prof} _{B}(M\otimes _{A}B)=\mathrm {prof} _{A}(M)+\mathrm {prof} _{B\otimes _{A}k}(M\otimes _{A}k)}$^[1]

où k est le corps résiduel de A.

Référence

Bibliographie

(en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin Cummings, 1980, 2^e éd., chap. 6

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