Polynômes orthogonaux multiples

Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures μ 1 , … , μ r {\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{r}} . Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.

Dans la littérature, les polynômes orthogonaux multiples sont également appelés d {\displaystyle d} -polynômes orthogonaux, polynômes de Hermite-Padé[1] ou polynômes polyorthogonaux[2].

Polynômes orthogonaux multiples

Soit n → = ( n 1 , … , n r ) ∈ N r {\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}} un multi-indice et μ 1 , … , μ r {\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{r}} sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, | n → | := n 1 + n 2 + ⋯ + n r {\displaystyle |{\vec {n}}|:=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}} .

POM de type 1

Les polynômes de type 1 sont notés comme A n → , j {\displaystyle A_{{\vec {n}},j}} pour j = 1 , 2 , … , r {\displaystyle j=1,2,\dots ,r} et écrits comme a vecteur ( A n → , 1 , A n → , 2 , … , A n → , r ) {\displaystyle (A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r})} , où le j {\displaystyle j} ème polynôme A n → , j {\displaystyle A_{{\vec {n}},j}} peut être au plus de degré n j − 1 {\displaystyle n_{j}-1} . De plus, ils doivent vérifier :

∑ j = 1 r ∫ R x k A n → , j d μ j ( x ) = 0 , k = 0 , 1 , 2 , … , | n → | − 2 , {\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,}

et

∑ j = 1 r ∫ R x | n → | − 1 A n → , j d μ j ( x ) = 1. {\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.}

On a donc un système d'équations | n → | {\displaystyle |{\vec {n}}|} pour les | n → | {\displaystyle |{\vec {n}}|} coefficients des polynômes A n → , 1 , A n → , 2 , … , A n → , r {\displaystyle A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}} défini.

POM de type 2

Un polynôme P n → ( x ) {\displaystyle P_{\vec {n}}(x)} est de type 2 s'il est monique et de degré | n → | {\displaystyle |{\vec {n}}|} et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :

∫ R P n → ( x ) x k d μ j ( x ) = 0 , k = 0 , 1 , 2 , … , n j − 1 , j = 1 , … , r . {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.}

Remarques

Si on écrit toutes les équations j = 1 , … , r {\displaystyle j=1,\dots ,r} , on obtient la définition suivante du POM de type 2

∫ R P n → ( x ) x k d μ 1 ( x ) = 0 , k = 0 , 1 , 2 , … , n 1 − 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1}
∫ R P n → ( x ) x k d μ 2 ( x ) = 0 , k = 0 , 1 , 2 , … , n 2 − 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1}
⋮ {\displaystyle \vdots }
∫ R P n → ( x ) x k d μ r ( x ) = 0 , k = 0 , 1 , 2 , … , n r − 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1}

Bibliographie

  • (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, (ISBN 9781107325982), chap. 23.
  • (en) Andrei Martinez-Finkelshtein et Walter Van Assche, WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial, vol. 63, , p. 1029-1031.
  • (en) Walter Van Assche et Els Coussement, Some classical multiple orthogonal polynomials, vol. 127, Elsevier, (DOI 10.1016/s0377-0427(00)00503-3), chap. 1-2, p. 317-347.

Références

  1. ↑ (en) Adam Doliwa et Artur Siemaszko, « Hermite–Padé approximation and integrability », Journal of Approximation Theory, vol. 292,‎ (DOI 10.1016/j.jat.2023.105910)
  2. ↑ (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, (ISBN 9781107325982).
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