Polynôme d'Abel

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En mathématiques, les polynômes d'Abel forment une suite de polynômes dont le n-ième est de la forme

A n ( x ) = x ( x − a n ) n − 1 .   {\displaystyle A_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}.~}

Cette suite de polynômes est de type binomial.

Propriétés

Fonction génératrice

La fonction génératrice des polynômes d'Abel est :

∑ n = 0 + ∞ A n ( x ) n ! t n = exp ⁡ ( t a W ( a t ) ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {A_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\exp \left({\frac {t}{a}}W(at)\right)}

où W désigne la fonction W de Lambert.

Identité binomiale

Les polynômes d'Abel vérifient l'identité suivante :

A n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) A k ( x ) A n − k ( y ) {\displaystyle A_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{k}(x)A_{n-k}(y)}

Applications

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Les polynômes d'Abel sont fondamentaux dans le calcul ombral, dans la mesure où on peut montrer que tous les polynômes de type binomial peuvent être exprimés à partir des polynômes d'Abel[1].

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Abel polynomials » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) Gian-Carlo Rota, Jianhong Shen et Brian D. Taylor, « All polynomials of binomial type are represented by Abel polynomials », Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4e série, vol. 25, nos 3-4,‎ , p. 731-738 (lire en ligne)

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Abel Polynomial », sur MathWorld

Articles connexes

  • Suite de Sheffer
  • Calcul ombral
  • icône décorative Portail des mathématiques