Noyau de Fejér

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En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle et harmonique, le noyau de Fejér est une suite de fonctions réelles 2π-périodiques permettant d'exprimer l'effet d'une somme de Cesàro sur une série de Fourier. Il tient son nom du mathématicien hongrois Lipót Fejér[1].

Définition

Tracé des noyaux de Fejér à différents ordres.

Le noyau de Fejér est la suite (Fn)n∈ℕ* de fonctions analytiques dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n, est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :

∀ x ∈ R F n ( x ) = 1 n ∑ k = 0 n − 1 D k ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)} .

Calcul

En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :

  1. F n ( x ) = 1 n ( sin ⁡ n x 2 sin ⁡ x 2 ) 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin {\frac {nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}} si x ∉ 2 π Z {\displaystyle x\notin 2\pi \mathbb {Z} } (donc, par continuité, Fn(x) = n si x est un multiple entier de 2π) ;
  2. F n ( x ) = ∑ k = − n n ( 1 − | k | n ) e i k x {\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}} .
Démonstration
  1. Si x ∉ 2 π Z {\displaystyle x\notin 2\pi \mathbb {Z} } alors D k ( x ) = sin ⁡ ( x 2 + k x ) sin ⁡ x 2 = cos ⁡ k x − cos ⁡ ( k + 1 ) x 2 sin 2 ⁡ x 2 {\displaystyle D_{k}(x)={\frac {\sin \left({\frac {x}{2}}+kx\right)}{\sin {\frac {x}{2}}}}={\frac {\cos kx-\cos(k+1)x}{2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}} donc
    F n ( x ) = 1 n ∑ k = 0 n − 1 cos ⁡ k x − cos ⁡ ( k + 1 ) x 2 sin 2 ⁡ x 2 = 1 − cos ⁡ n x 2 n sin 2 ⁡ x 2 = sin 2 ⁡ n x 2 n sin 2 ⁡ x 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\cos kx-\cos(k+1)x}{2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\cos nx}{2n\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {nx}{2}}}{n\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}} .
  2. D k ( x ) = ∑ p = − k k e i p x {\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{p=-k}^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}} donc
    F n ( x ) = 1 n ∑ k = 0 n − 1 ∑ p = − k k e i p x = 1 n ∑ p = − n n ∑ k = | p | n − 1 e i p x = 1 n ∑ p = − n n ( n − | p | ) e i p x = ∑ p = − n n ( 1 − | p | n ) e i p x {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{p=-k}^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}={\frac {1}{n}}\sum _{p=-n}^{n}\sum _{k=|p|}^{n-1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}={\frac {1}{n}}\sum _{p=-n}^{n}(n-|p|)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}=\sum _{p=-n}^{n}\left(1-{\frac {|p|}{n}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}} .

Convolution

On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur [–π, π] et 2π-périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Dirichlet.

Propriétés

Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif sur R / 2 π Z {\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} } , c'est-à-dire que :

  • ∀ n ∈ N ∗ F n ≥ 0 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad F_{n}\geq 0}  ;
  • ∀ n ∈ N ∗ 1 2 π ∫ − π π F n ( x ) d x = 1 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1}  ;
  • ∀ ε > 0 lim n → ∞ ∫ π ≥ | x | > ε | F n ( x ) | d x = 0 {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \lim _{n\to \infty }\int _{\pi \geq |x|>\varepsilon }|F_{n}(x)|\,\mathrm {d} x=0} .

La suite (Fn) est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach L 1 ( R / 2 π Z ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )} (munie de produit de convolution).

  • Le noyau de Fejér est lié au noyau de Dirichlet par les relations suivantes[2] :
    • ∀ n ∈ N ∗ ,   D n ( x ) = ( n + 1 ) F n + 1 ( x ) − n F n ( x ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ D_{n}(x)=(n+1)F_{n+1}(x)-nF_{n}(x)}
    • ∀ n ∈ N ,   F n + 1 ( x ) = 1 n + 1 ∑ k = 0 n D k ( x ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ F_{n+1}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)}

Références

  1. ↑ (de) Leopold Fejér, « Untersuchungen über Fouriersche Reihen », Mathematische Annalen,‎ (lire en ligne)
  2. ↑ (en) Josée Lopez-Bonilla, Sergio Vidal Beltran et Jesus Yalja Montiel, « A Note on Dirichlet and Fejér kernels », Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, vol. 14, no 1,‎ , p. 101–104 (ISSN 1409-2433, lire en ligne)
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