Nombre de Genocchi

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Les nombres de Genocchi, qui portent le nom du mathématicien Angelo Genocchi, forment la suite de nombres (Gn)n ≥ 1 définie par sa série génératrice exponentielle :

∑ n = 1 ∞ G n t n n ! = 2 t e t + 1 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }G_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {2t}{e^{t}+1}}.}

Ils sont donc entiers, et reliés aux nombres de Bernoulli Bn par la formule

G n = 2 ( 1 − 2 n ) B n . {\displaystyle G_{n}=2\,(1-2^{n})\,B_{n}.}

Les premiers nombres de Genocchi sont par conséquent :

1, –1, 0, 1, 0, –3, 0, 17 (suite A036968 de l'OEIS)

et (de même que pour Bn) :

Gn = 0 lorsque n est impair et différent de 1, et les signes des Gn alternent pour n pair.

Formules

On a :

− ∑ k = 1 n 4 k − 1 ( 2 n 2 k ) G 2 k = n {\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}4^{k-1}{\binom {2n}{2k}}G_{2k}=n}

On a l'égalité suivante[1]:

∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n 2 2 n − 1 G 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = x tan ⁡ x {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n-1}G_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=x\tan x}

Références

  1. ↑ (en) Nand Kishore, « The Rayleigh function », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 14, no 4,‎ , p. 527-533 (JSTOR 2034269, lire en ligne)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Genocchi Number », sur MathWorld

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