Moyenne de Seiffert

En analyse, les moyennes de Seiffert sont un genre de moyenne intermédiaires entre les moyennes géométrique et arithmétique.

Historique

Seiffert a défini ces moyennes en s'intéressant aux valeurs définissables comme moyenne contenue entre deux moyennes d'ordre p, comme la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux nombres positifs[1].

Définitions

Dans les inégalités bornant les moyennes, Mp désigne la moyenne d'ordre p

Première moyenne de Seiffert

La première moyenne de Seiffert a été définie en 1993[2]:

P ( a , b ) = { a − b 2 arcsin ⁡ ( a − b a + b ) = a − b 4 arctan ⁡ ( a b ) − π  si  a ≠ b , a  si  a = b . {\displaystyle P(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a-b}{2\arcsin \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}={\dfrac {a-b}{4\arctan \left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)-\pi }}&{\text{ si }}a\neq b,\\[4pt]a&{\text{ si }}a=b.\end{cases}}}

On a les encadrements suivants[3]:

L ( a , b ) ⩽ P ( a , b ) ⩽ I ( a , b ) {\displaystyle L(a,b)\leqslant P(a,b)\leqslant I(a,b)}
M 1 / 2 ( a , b ) ⩽ P ( a , b ) ⩽ M 2 / 3 ( a , b ) {\displaystyle M_{1/2}(a,b)\leqslant P(a,b)\leqslant M_{2/3}(a,b)}
M ln ⁡ ( 2 ) / ln ⁡ ( π ) ( a , b ) ⩽ P ( a , b ) {\displaystyle M_{\ln(2)/\ln(\pi )}(a,b)\leqslant P(a,b)}
Deuxième moyenne de Seiffert

La deuxième moyenne de Seiffert a été définie en 1993[4]:

T ( a , b ) = { a − b 2 arctan ⁡ ( a − b a + b )  si  a ≠ b , a  si  a = b . {\displaystyle T(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a-b}{2\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}&{\text{ si }}a\neq b,\\[4pt]a&{\text{ si }}a=b.\end{cases}}}

On a les encadrements suivants[5]:

A ( a , b ) ⩽ T ( a , b ) ⩽ Q ( a , b ) {\displaystyle A(a,b)\leqslant T(a,b)\leqslant Q(a,b)}
M ln ⁡ ( 2 ) / ln ⁡ ( π / 2 ) ( a , b ) ⩽ T ( a , b ) ⩽ M 5 / 3 ( a , b ) {\displaystyle M_{\ln(2)/\ln(\pi /2)}(a,b)\leqslant T(a,b)\leqslant M_{5/3}(a,b)}

Généralisation

On parle de moyenne de type Seiffert ou moyenne de Seiffert généralisée pour les moyennes sous la forme[6],[7]:

M g ( a , b ) = a − b 2 g ( a − b a + b ) {\displaystyle M_{g}(a,b)={\frac {a-b}{2g\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}}

pour toute fonction g vérifiant :

∀ z ∈ [ 0 ; 1 [ ,   z 1 + z ⩽ g ( z ) ⩽ z 1 − z {\displaystyle \forall z\in [0;1[,\ {\frac {z}{1+z}}\leqslant g(z)\leqslant {\frac {z}{1-z}}}

On peut affirmer que la moyenne logarithmique est une moyenne de type Seiffert en remarquant que :

L ( a , b ) = a − b ln ⁡ ( a ) − ln ⁡ ( b ) = a − b 2 artanh ⁡ ( a − b a + b ) {\displaystyle L(a,b)={\frac {a-b}{\ln(a)-\ln(b)}}={\frac {a-b}{2\operatorname {artanh} \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}}

Références

  1. ↑ (en) B. Long, L. Xu et Q. Wang, « Several sharp inequalities about the first Seiffert mean », Journal of Inequalities and Applications, vol. 174,‎ (DOI 10.1186/s13660-018-1763-2, lire en ligne)
  2. ↑ (de) H.J. Seiffert, « Problem 887 », Nieuw Archief voor Wiskunde, vol. 11, no 4,‎ , p. 176
  3. ↑ (en) Shaoqin Gao, « Inequalities for the Seiffert's means in terms of the identric mean », Semantic Scholar,‎ (lire en ligne)
  4. ↑ (de) H.J. Seiffert, « Aufgabe β16 », Die Wurzel, vol. 29, no 9,‎ , p. 10
  5. ↑ (en) Zhen-Hang Yang, Ying-Qing Song et Yu-Ming Chu, « Monotonicity of the Ratio of the Power and Second Seiffert Means with Applications », Abstract and Applied Analysis, vol. 2014,‎ (DOI 10.1155/2014/840130)
  6. ↑ (en) Alfred Witkowski, « On Seiffert-like means », J. Math. Inequal., vol. 9, no 4,‎ , p. 1079-1092 (DOI 10.7153/jmi-09-83, lire en ligne)
  7. ↑ (en) Edward Neuman, « On generalized Seiffert means », Aequationes mathematicae, vol. 87,‎ , p. 325–335
  • (en) Alfred Witkowski, « Seiffert means in a triangle », Research report collection 7.4,‎ (lire en ligne)
  • (en) Edward Neuman et József Sándor, « On the Schwab-Borchardt mean », Mathematica Pannonica, vol. 14, no 2,‎ , p. 253-266 (lire en ligne).
  • (en) Yuming Chu, Baoyu Liu et Miaokun Wang, « Refinements of bounds for the first and second Seiffert means », Journal of Mathematical Inequalities, vol. 7, no 4,‎ , p. 659–668 (DOI 10.7153/jmi-07-60, lire en ligne)
  • (en) Jozsef Sandor, « Trigonometric and Hyperbolic Inequalities », Classical Analysis and ODEs,‎ (DOI 10.48550/arXiv.1105.0859)
  • (en) Yu-Ming Chu, Miao-Kun Wang et Ye-Fang Qiu, « Optimal two parameter bounds for the Seiffert mean », Classical Analysis and ODEs,‎ (DOI 10.48550/arXiv.1209.3351, lire en ligne)

Voir aussi

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