Montages de base de l'amplificateur opérationnel

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ et ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$.

Calcul des potentiels ${\displaystyle V^{+}}$ et ${\displaystyle V^{-}}$ :

• ${\displaystyle V^{+}}$ est obtenu grâce au pont diviseur de tension à vide :

${\displaystyle V^{+}={R_{g} \over (R_{2}+R_{g})}V_{2}}$

• ${\displaystyle V^{-}}$ est obtenu grâce au théorème de Millman :

${\displaystyle V^{-}={{{V_{s} \over R_{f}}+{V_{1} \over R_{1}}} \over {{1 \over R_{f}}+{1 \over R_{1}}}}={{V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}} \over {R_{1}+R_{f}}}}$

• Comme :

${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$

${\displaystyle {R_{g} \over {R_{2}+R_{g}}}V_{2}={{V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}} \over {R_{1}+R_{f}}}}$

${\displaystyle {{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}R_{g}.V_{2}=V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}}$

${\displaystyle {{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}R_{g}.V_{2}-V_{1}.R_{f}=V_{s}.R_{1}}$

• On obtient le résultat escompté :

${\displaystyle V_{s}={{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}{R_{g} \over R_{1}}V_{2}-{R_{f} \over R_{1}}V_{1}}$

• Condition de mise en facteur :

${\displaystyle {{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}{R_{g} \over R_{1}}={R_{f} \over R_{1}}}$

${\displaystyle (R_{1}+R_{f})R_{g}=R_{f}(R_{2}+R_{g})}$

${\displaystyle R_{1}.R_{g}=R_{2}.R_{f}}$

• Quand ${\displaystyle {\frac {R_{f}}{R_{1}}}={\frac {R_{g}}{R_{2}}}}$ ⇒ amplificateur de différence dont le gain est ${\displaystyle R_{f} \over R_{1}}$
• Quand ${\displaystyle R_{1}=R_{\mathrm {f} }}$ et ${\displaystyle R_{2}=R_{\mathrm {g} }}$ ⇒ soustracteur.

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ et ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$.
Donc : ${\displaystyle V^{+}=0}$ et d'après le théorème de Millman : ${\displaystyle V^{-}={\left({V_{\mathrm {e} } \over R_{\mathrm {1} }}+{V_{\mathrm {s} } \over R_{\mathrm {2} }}\right) \over {{1 \over R_{\mathrm {1} }}+{1 \over R_{\mathrm {2} }}}}}$.

${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$

${\displaystyle 0=\left({V_{\mathrm {e} } \over R_{\mathrm {1} }}+{V_{\mathrm {s} } \over R_{\mathrm {2} }}\right)}$

${\displaystyle V_{\mathrm {s} }=-V_{\mathrm {e} }\left({R_{\mathrm {2} } \over R_{\mathrm {1} }}\right)}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ et ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$.

Application du théorème de Millman en ${\displaystyle V^{-}}$

${\displaystyle V^{-}={{V_{s} \over R_{f}}+{\sum _{n\geqslant 1}{{V_{n}} \over {R_{n}}}} \over {{1 \over R_{f}}+\sum _{n\geqslant 1}{1 \over {R_{n}}}}}}$

Or :

${\displaystyle V^{+}=0=V^{-}}$

Ainsi :

${\displaystyle V^{-}={V_{s} \over R_{f}}+{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}=0}$

${\displaystyle {V_{s} \over R_{f}}=-{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}}$

On obtient le résultat escompté :

${\displaystyle V_{s}=-R_{f}{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$ et que ${\displaystyle V^{+}=V^{-}=0}$. Le courant ${\displaystyle I}$ traversant R et C est donné par :

${\displaystyle I(t)={\frac {V_{e}(t)}{R}}}$

Il peut aussi être exprimé en fonction de la tension de sortie :

${\displaystyle I(t)=-C{\frac {dV_{\mathrm {s} }(t)}{dt}}}$

En utilisant les deux équations précédentes on obtient :

${\displaystyle V_{\mathrm {s} }(t)=-\left({1 \over RC}\right)\int {V_{\mathrm {e} }(t)dt}}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$ et que ${\displaystyle V^{+}=V^{-}=0}$. Le courant ${\displaystyle I}$ traversant R et C est donné par :

${\displaystyle I(t)=-{\frac {V_{s}(t)}{R}}}$

Il peut aussi être exprimé en fonction de la tension d'entrée :

${\displaystyle I(t)=C{\frac {dV_{\mathrm {e} }(t)}{dt}}}$

En utilisant les deux équations précédentes on obtient :

${\displaystyle V_{\mathrm {s} }(t)=-RC{\frac {dV_{\mathrm {e} }(t)}{dt}}}$

${\displaystyle V_{\epsilon +}=V_{e}{\frac {R_{1}}{R_{1}+{\frac {1}{jC\omega }}}}=V_{e}{\frac {jR_{1}C\omega }{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle I_{1}={\frac {V_{\epsilon +}}{R_{1}}}=V_{e}{\frac {jC\omega }{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle I_{2}={\frac {V_{e}-V_{\epsilon +}}{R_{2}}}={\frac {V_{e}}{R_{2}}}{\frac {1}{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle I=I_{1}+I_{2}={\frac {V_{e}}{1+jR_{1}C\omega }}(jC\omega +{\frac {1}{R_{2}}})}$

${\displaystyle I={\frac {V_{e}}{R_{2}}}{\frac {1+jR_{2}C\omega }{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle Z_{eq}={\frac {V_{e}}{I}}}$

L'impédance équivalente de ce montage est donc :

${\displaystyle Z_{eq}(\omega )=R_{2}{\frac {1+jR_{1}C\omega }{1+jR_{2}C\omega }}}$

les deux fréquences de coupures de ce montage sont :

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}}$ et ${\displaystyle f_{2}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}}}$

Si ${\displaystyle R_{1}>>R_{2}}$ on a :

${\displaystyle f<f_{1}}$ ${\displaystyle Z_{eq}\approx R_{2}}$

${\displaystyle f_{1}<f<f_{2}}$ ${\displaystyle Z_{eq}\approx L=R_{2}R_{1}C}$

${\displaystyle f>f_{2}}$ ${\displaystyle Z_{eq}\approx R_{1}}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$ et que ${\displaystyle V^{+}=V^{-}=V_{s}}$. Le courant ${\displaystyle I_{2}}$ est donné par :

${\displaystyle I_{2}={\frac {V_{s}}{R_{1}}}}$

Si on considère la tension d'une masse à l'autre (utilisation de la loi des mailles), il est possible d'écrire :

${\displaystyle (R_{1}+R_{2})I_{2}+R_{3}\cdot I_{s}-V_{s}=0}$

En utilisant les deux équations précédentes (on remplace ${\displaystyle I_{2}}$ dans la deuxième formule) on obtient :

${\displaystyle (R_{1}+R_{2}){\frac {V_{s}}{R_{1}}}+R_{3}\cdot I_{s}-V_{s}=0}$

${\displaystyle V_{s}(1-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}})=R_{3}\cdot I_{s}}$

${\displaystyle V_{s}=-I_{s}\cdot R_{3}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$

Ce qui permet de calculer la résistance d'entrée :

${\displaystyle R_{in}={\frac {V_{s}}{I_{s}}}=-R_{3}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$

Pour étudier ce montage, il faut considérer deux cas : lorsque la diode est passante ou lorsque la diode est bloquée.

• Lorsque la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel est positive, la diode est passante et le circuit se comporte comme un suiveur :

${\displaystyle V_{s}=V_{e}}$

• Lorsque la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel est négative, la diode se bloque (elle ne peut laisser passer un courant négatif). La boucle de contre-réaction n'est plus fermée et le montage se comporte comme un comparateur : la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel vaut ${\displaystyle -V_{sat}}$. La diode étant bloquée, aucun courant ne parcourt la résistance de charge ${\displaystyle R_{L}}$. La tension de sortie du montage est donc nulle :

${\displaystyle V_{s}=0}$

Si ${\displaystyle V_{e}>V_{s}}$, la sortie de amplificateur tend vers ${\displaystyle V_{s}+}$, la diode est passante ce qui charge le condensateur C, et augmente ${\displaystyle V_{s}}$ jusqu'à égaliser l'entrée et la sortie.

Si ${\displaystyle V_{e}<V_{s}}$, la sortie de l'amplificateur tend vers ${\displaystyle V_{s}-}$, la diode est bloquée, et la tension de sortie reste constante.

Pour cette étude, on considérera que l'amplificateur opérationnel utilisé est parfait, et qu'il fonctionne en « mode comparateur » car il utilise une contre-réaction sur l'entrée non inverseuse de l'AOP. Le gain différentiel de l'amplificateur étant infini, la tension de sortie V_s ne peut valoir que +V_cc ou -V_cc suivant le signe de la tension différentielle V_diff.

${\displaystyle V_{diff}=V_{+}-V_{-}=V_{+}=V_{e}\cdot {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}}$

La tension V_e annulant la tension différentielle V_diff vaut donc :

${\displaystyle V_{e}=-V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$

Suivant le signe de V_s, on peut définir une tension de basculement positif V_T⁺ faisant passer la sortie V_s de -V_cc a +V_cc, et une tension de basculement négatif V_T⁻ faisant passer V_s de +V_cc a -V_cc :

Tension de basculement positif : ${\displaystyle V_{\mathrm {T^{+}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)}$

${\displaystyle V_{\mathrm {T^{-}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)}$

Pour cette étude, on considérera que l'amplificateur opérationnel utilisé est parfait, et qu'il fonctionne en « mode comparateur » car il utilise une contre-réaction sur l'entrée non inverseuse de l'AOP. Le gain différentiel de l'amplificateur étant infini, la tension de sortie V_s ne peut valoir que +V_cc ou -V_cc suivant le signe de la tension différentielle V_diff.

${\displaystyle V_{diff}=V_{+}-V_{-}=V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}-V_{e}}$

La tension V_e annulant la tension différentielle V_diff vaut donc :

${\displaystyle V_{e}=V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}}$

Suivant le signe de V_s, on peut définir une tension de basculement positif V_T⁺ faisant passer la sortie V_s de +V_cc a -V_cc, et une tension de basculement négatif V_T⁻ faisant passer V_s de -V_cc a +V_cc :

Tension de basculement positif : ${\displaystyle V_{\mathrm {T^{+}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)}$

${\displaystyle V_{\mathrm {T^{-}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)}$

1. ↑ (en) Logarithmically variable gain from a linear variable component.
2. ↑ (en) Maxim application note 3611 : Integrated DC Logarithmic Amplifiers [PDF].