Mesure de comptage

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La mesure de comptage (ou mesure de dénombrement) est une mesure positive associée à la cardinalité d'un ensemble.

Si l'on note ${\displaystyle \mu }$ la mesure de comptage sur la tribu des parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$, on a, pour tout ${\displaystyle A\subset X}$ :

$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{si }}A{\text{ est fini}}\\+\infty &{\text{si }}A{\text{ est infini.}}\end{cases}}}$$

Par définition de l'intégrale de Lebesgue, pour toute application ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} _{+}}$, on a :

${\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{y\in \mathbb {R} _{+}}y|f^{-1}(\{y\})|=\sum _{x\in X}f(x)}$.

L'intégrale pour la mesure de comptage est donc une somme (ou une série). Elle est particulièrement utile avec les suites numériques. Ainsi les divers théorèmes associés à la théorie de la mesure s'appliquent aux séries (inversion série/intégrale et série/limite par exemple).

Exemples

Soit ${\displaystyle E}$ un ensemble fini de réels. L'intégrale de l'application identité ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$ est ${\displaystyle \int \mathrm {id} _{E}\,\mathrm {d} \mu =\sum _{x\in E}x}$.

Soit une suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de réels positifs et son application associée ${\displaystyle u:\mathbb {N} \to \mathbb {R} _{+},\;n\mapsto u_{n}}$. On a ${\displaystyle \int u\,\mathrm {d} \mu =\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}}$.

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