Méthode multipolaire rapide

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La méthode multipolaire rapide (MMR) (en anglais Fast multipole method, FMM) est une technique mathématique développée pour accélérer le calcul des forces de longue portée dans le problème à N corps. Elle procède à l'expansion de la fonction de Green du système par une expansion multipolaire, le groupement des sources voisines permettant de les traiter comme une source unique[1].

Description

La MMR a aussi été appliquée à l'accélération des solveurs itératifs dans la méthode des moments appliquée aux problèmes d'électromagnétique[2].

Elle a été introduite pour la première fois par Leslie Greengard et Vladimir Rokhline[3] et a pour base l'expansion multipolaire du vecteur de l'équation d'Helmholtz. En traitant les interactions entre des fonctions très différentes par la MMR, il n'est pas nécessaire de stocker les éléments de matrices correspondants, ce qui réduit de beaucoup la quantité de mémoire nécessaire. Si la MMR est appliquée de manière hiérarchique, elle réduit la complexité des produits de matrices et de vecteurs dans un solveur itératif en la faisant passer de O(N²) à O(N log(N)), voire O(N) dans certains cas. Cet outil a élargi le domaine d'application de la méthode des moments à de plus grands problèmes qu'auparavant.

La MMR introduite par Rokhlin et Greengard a été reconnue comme l'un des dix plus importants algorithmes du XXe siècle par la Society for Industrial and Applied Mathematics[4]. Elle réduit considérablement la complexité du produit matrice-vecteur en introduisant un certain type de matrice dense qui apparaît dans de nombreux problèmes de physique.

La MMR est également utilisée pour traiter efficacement l'interaction de Coulomb dans les calculs de la méthode de Hartree-Fock et dans la théorie de la fonctionnelle de la densité en chimie quantique.

Notes et références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fast multipole method » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Rokhlin, Vladimir (1985). Rapid Solution of Integral Equations of Classic Potential Theory. J. Computational Physics Vol. 60, p. 187-207.
  2. ↑ Nader Engheta, William D. Murphy, Vladimir Rokhlin, and Marius Vassiliou (1992), The Fast Multipole Method for Electromagnetic Scattering Computation, IEEE Transactions on Antennas and Propagation 40, 634-641.
  3. ↑ « Theory Research Interest Group », sur cam.ac.uk (consulté le ).
  4. ↑ (en) Barry A Cipra, « The Best of the 20th Century: Editors Name Top 10 Algorithms », SIAM News, Society for Industrial and Applied Mathematics, vol. 33, no 4,‎ , p. 2 (lire en ligne, consulté le )

Voir aussi

Bibliographie

  • Gibson, Walton C. The Method of Moments in Electromagnetics. Chapman & Hall/CRC, 2008. (ISBN 978-1-4200-6145-1)

Liens externes

  • (en) Résumé de la publication originale de Greengard et Rokhlin
  • (en) Cours sur la méthode par Rick Beatson et Leslie Greengard
  • (en) Animation expliquant la méthode

Logiciels libres

  • Puma-EM code parallélisé pour l'électromagnétisme
  • Kernel-Independent Fast Multipole 3d Method (KIFMM3d)
  • PVFMM Parallel Volume FMM
  • FastFieldSolvers pour l'équation de Maxwell
  • FastBEM
  • pyExaFMM, implantation de la méthode multipolaire rapide en langage python, avec la possibilité d'accélérer les calculs en utilisant un processeur graphique
  • ExaFMM
  • ScalFMM
  • DASHMM
  • RECFMM

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