Loi de Pouillet

La dénomination loi de Pouillet est utilisée pour désigner deux lois en relation avec l'électrocinétique.

Loi de Pouillet pour un circuit

Cette loi permet de calculer l'intensité dans un circuit série en maille simple composé de dipôles actifs linéaires et de conducteurs ohmiques. Découverte expérimentalement par Claude Asier Pouillet, elle découle de la loi d'Ohm.

On considère une maille composée de $n$ dipôles actifs linéaires $D_{1},...,D_{n}$ et de $p$ conducteurs ohmiques de résistances respectives $R_{1},...,R_{p}$ .

Par théorème de Thévenin, chaque dipôle actif linéaire $D_{k}$ est équivalent à son modèle de Thévenin, constitué d'une source idéale de tension de force électromotrice $E_{k}$ et d'un résistor de résistance $r_{k}$ en série.

Alors, en notant $v_{E_{m}}$ la tension aux bornes de la source idéale de tension de force électromotrice $E_{m}$ en convention générateur, l'intensité i qui parcourt la maille est :

i={\frac {\sum _{m\mathop {=} 1}^{n}v_{E_{m}}}{\sum _{l\mathop {=} 1}^{n}{r_{l}}+\sum _{k\mathop {=} 1}^{p}{R_{k}}}}

Démonstration

La démonstration sera entièrement réalisée en convention générateur.

Reprenons le circuit précédemment décrit, dont on a déjà vu qu'il est équivalent à une maille constituée exclusivement de sources idéales de tension et de conducteurs ohmiques. On conserve les notations déjà établies.

Notons $v_{R_{k}}$ la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R_{k}$ . On adopte de même la notation $v_{r_{l}}$ pour la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $r_{l}$ .

Par loi des mailles, il vient :

$\sum _{m\mathop {=} 1}^{n}v_{E_{m}}+\sum _{l\mathop {=} 1}^{n}{v_{r_{l}}}+\sum _{k\mathop {=} 1}^{p}{v_{R_{k}}}=0$

On écrit la loi d'Ohm (ici, en convention générateur) pour chaque conducteur ohmique :

$\sum _{m\mathop {=} 1}^{n}v_{E_{m}}-\sum _{l\mathop {=} 1}^{n}{r_{l}}i-\sum _{k\mathop {=} 1}^{p}{R_{k}}i=0$

De cette égalité, se découle la relation attendue :

i={\frac {\sum _{m\mathop {=} 1}^{n}v_{E_{m}}}{\sum _{l\mathop {=} 1}^{n}{r_{l}}+\sum _{k\mathop {=} 1}^{p}{R_{k}}}}

Attention : Il ne faut pas confondre $E_{m}$ et $v_{E_{m}}$ dans la formule mathématique de la loi : cette erreur fausse totalement le résultat en affectant sans raison tous les termes de la somme au numérateur de la fraction d'un signe positif.

Loi de Pouillet pour le calcul d'une résistance

La relation permettant de calculer la résistance en fonction de la résistivité et des caractéristiques géométriques du conducteur est appelé loi de Pouillet dans certains programmes scolaires^[1].