Irrationnel quadratique

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Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(√d), où d est un entier positif sans facteur carré.

Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange).

Racine carrée d'un entier non carré

Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant √2). On démontre en effet que si un entier n'est pas le carré d'un entier alors, il n'est même pas le carré d'un rationnel ou encore — par contraposition — que si un entier d est carré d'un rationnel, alors √d est un entier. On peut la déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide^[1]. Les preuves usuelles font appel au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'arithmétique mais d'autres sont plus astucieuses, comme celle de Richard Dedekind^[2] ou la suivante, essentiellement due à Theodor Estermann^[3],[4] :

Soit d un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme p/q avec q le plus petit possible (c'est-à-dire que q est le plus petit entier > 0 dont le produit par √d est entier), et soit n la partie entière de √d. Alors, l'entier r := p – nq vérifie : 0 ≤ r < q et r√d est entier. Par minimalité de q, r = 0 donc √d = n.

Plus généralement, tout entier algébrique non entier est irrationnel.

Notes et références

Articles connexes

• Problème d'Hermite (en)
• Fonction point d'interrogation
• Théodore de Cyrène
• Théorème de Hasse-Minkowski

• Arithmétique et théorie des nombres