Intégrale d'Itō

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L'intégrale d'Itô, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itô, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.

Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques :

Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

où H est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par X^[1], qui est un mouvement brownien ou, de façon plus générale une semi-martingale. Le résultat de l'intégration, Y, est aussi un processus stochastique.

Description

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) $B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} \,$ ainsi que $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à $B_{t}$ , alors l'intégrale d'Itô

\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}:\Omega \to \mathbb {R}

est définie par la limite en moyenne quadratique de

\sum _{i=0}^{k-1}X_{t_{i}}\left(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right)

lorsque le pas de la partition $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ de $[0,T]$ tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par $Y_{t}=\int _{0}^{t}{X_{s}\mathrm {d} B_{s}}$ , est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: $E(Y_{t}^{2})=\int _{0}^{t}{E(X_{s}^{2})\mathrm {d} s}$ . Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.