Indice de Sobol

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En analyse de sensibilité[1],[2], les indices de Sobol sont des indices de sensibilité d'une variable de sortie à une variable d'entrée. Ils sont nommés d'après le mathématicien russe Ilya Meïérovitch Sobol[3].

Soit un modèle que l'on exprime par une fonction f associant à des variables aléatoires Xi, i∈⟦1,n⟧ la variable aléatoire Y . Le ième indice de sensibilité de premier ordre est défini par : S i = V a r [ E [ Y | X i ] ] V a r [ Y ] {\displaystyle S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}} Il s'agit d'un indice de sensibilité basé sur une décomposition de variance. Les indices de Sobol se généralisent aux ordres supérieurs (ils quantifient alors la variance attribuée à l'interaction entre paramètres) et même dans le cas de paramètres dépendants[4].

Indices de Sobol

Généralité

Premier ordre

S i = V a r [ E [ Y | X i ] ] V a r [ Y ] {\displaystyle S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}}

Ordre total

S T i = 1 − V a r [ E [ Y | X ∼ i ] ] V a r [ Y ] {\displaystyle ST_{i}=1-{\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{\sim }{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}}

ième ordre

Les indices généralisés

Lorsque la sensibilité du modèle doit être faite sur des séries temporelles, on peut utiliser les indices de Sobol généralisés:


G S I i = ∑ t = 1 N V a r [ Y ( t ) ] ∑ t 2 = 1 N V a r [ Y ( t 2 ) ] ⋅ S i ( t ) {\displaystyle GSI_{i}=\sum _{t=1}^{N}{\frac {\mathbf {Var} \left[Y(t)\right]}{\sum _{t_{2}=1}^{N}\mathbf {Var} \left[Y(t_{2})\right]}}\cdot S_{i}(t)}

Algorithme de calcul

Plusieurs algorithmes ont été présentés par Saltelli [5] pour calculer les indices de premier ordre et d'ordre total.


Utilisation

Notes et références

  1. ↑ (en) Bertrand Iooss et Paul Lemaître, Uncertainty Management in Simulation-Optimization of Complex Systems, Springer US, coll. « Operations Research/Computer Science Interfaces Series », (ISBN 9781489975461 et 9781489975478, DOI 10.1007/978-1-4899-7547-8_5, lire en ligne), p. 101–122
  2. ↑ Janon, Alexandre, « Analyse de sensibilité et réduction de dimension. Application à l'océanographie », http://www.theses.fr/,‎ (lire en ligne, consulté le )
  3. ↑ I. M Sobol′, « Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates », Mathematics and Computers in Simulation, the Second IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, vol. 55,‎ , p. 271–280 (DOI 10.1016/S0378-4754(00)00270-6, lire en ligne, consulté le )
  4. ↑ Chastaing, Gaëlle, « Indices de Sobol généralisés par variables dépendantes », http://www.theses.fr/,‎ (lire en ligne, consulté le )
  5. ↑ (en) « Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index », Computer Physics Communications,‎ (DOI doi:10.1016/j.cpc.2009.09.018, lire en ligne)
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