Inégalité de Young pour la convolution

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Pour l'inégalité de Young apparentée à l'inégalité arithmético-géométrique, voir Inégalité de Young.

En mathématiques, l'inégalité de Young pour la convolution est le théorème d'analyse fonctionnelle suivant, démontré pour la première fois par William Henry Young en 1912[1] :

Soient f {\displaystyle f} dans l'espace Lp de Lebesgue et g {\displaystyle g} dans Lq et

1 p + 1 q = 1 + 1 r avec 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ . {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1+{\frac {1}{r}}\quad {\text{avec}}\quad 1\leq p,q,r\leq \infty .}

Alors le produit de convolution f ∗ g {\displaystyle f\ast g} appartient à Lr et

‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q . {\displaystyle \|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}
Démonstration[2]

Notons q ′ := q q − 1 {\displaystyle q':={\frac {q}{q-1}}} l'exposant conjugué de q {\displaystyle q} (c.-à-d. que 1/q + 1/q' = 1) et h ( x , y ) := | f ( x − y ) | p / r | g ( y ) | {\displaystyle h(x,y):=|f(x-y)|^{p/r}|g(y)|} . Ainsi,

| f ( x − y ) g ( y ) | = h ( x , y ) | f ( x − y ) | p / q ′ {\displaystyle |f(x-y)g(y)|=h(x,y)|f(x-y)|^{p/q'}}

donc, d'après l'inégalité de Hölder,

| f ∗ g ( x ) | ≤ ‖ h ( x , ⋅ ) ‖ q ‖ f ( x − ⋅ ) p / q ′ ‖ q ′ = ‖ h ( x , ⋅ ) ‖ q ‖ f ‖ p p / q ′ , {\displaystyle |f\ast g\left(x\right)|\leq \|h(x,\cdot )\|_{q}\|f(x-\cdot )^{p/q'}\|_{q'}=\|h(x,\cdot )\|_{q}\|f\|_{p}^{p/q'},}

si bien que (en excluant le cas immédiat r = ∞ {\displaystyle r=\infty } )

‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p p / q ′ ( ∫ ‖ h ( x , ⋅ ) ‖ q r d x ) 1 / r = ‖ f ‖ p p / q ′ ( ∫ ( ∫ h ( x , y ) q d y ) r / q d x ) 1 / r . {\displaystyle \|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \|h(x,\cdot )\|_{q}^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}=\|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}.}

Or d'après l'inégalité intégrale de Minkowski,

( ∫ ( ∫ h ( x , y ) q d y ) r / q d x ) q / r ≤ ∫ ( ∫ h ( x , y ) r d x ) q / r d y = ∫ ‖ f ( ⋅ − y ) ‖ p p q / r | g ( y ) | q d y = ‖ f ‖ p p q / r ‖ g ‖ q q . {\displaystyle \left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\leq \int \left(\int h(x,y)^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\,\mathrm {d} y=\int \|f(\cdot -y)\|_{p}^{pq/r}|g(y)|^{q}\,\mathrm {d} y=\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}.}

On peut ainsi conclure :

‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p p / q ′ ( ‖ f ‖ p p q / r ‖ g ‖ q q ) 1 / q = ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q . {\displaystyle \|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}\right)^{1/q}=\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}

Plus précisément[3],[4], pour des fonctions sur R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ,

‖ f ∗ g ‖ r ≤ c p , q n ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f\ast g\|_{r}\leq c_{p,q}^{n}\|f\|_{p}\|g\|_{q}} ,

avec c p , q := A p A q / A r {\displaystyle c_{p,q}:=A_{p}A_{q}/A_{r}} et A p := p 1 / p / p ′ 1 / p ′ {\displaystyle A_{p}:={\sqrt {p^{1/p}/p'^{1/p'}}}} pour p , p ′ {\displaystyle p,p'} conjugués (donc A1 = 1 mais si p, q > 1 alors cp,q < 1).

Notes et références

  • Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Inégalité de Young » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) W. H. Young, « On the multiplication of successions of Fourier constants », Proc. Roy. Soc. Lond. Series A, vol. 87,‎ , p. 331-339 (lire en ligne).
  2. ↑ Suggérée par (en) René Erlín Castillo et Humberto Rafeiro, An Introductory Course in Lebesgue Spaces, Springer, coll. « CMS Books in Mathematics », (lire en ligne), p. 294.
  3. ↑ (en) William Beckner (en), « Inequalities in Fourier analysis », Annals of Math., vol. 102,‎ , p. 159-182 (JSTOR 1970980), Theorem 3.
  4. ↑ (en) Elliott H. Lieb et Michael Loss (en), Analysis, coll. « GSM » (no 14), (1re éd. 1997) (lire en ligne), p. 98-105.

Articles connexes

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