Inégalité de Bonse

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En théorie des nombres, l'inégalité de Bonse, du nom de H. Bonse[1], permet une comparaison entre un nombre primoriel et le plus petit nombre premier qui ne figure pas dans sa décomposition.

Elle déclare que si p1, ..., pn, pn+1 sont les n + 1 plus petits nombres premiers et n ≥ 4, alors

p n # = p 1 ⋯ p n > p n + 1 2 {\displaystyle p_{n}\#=p_{1}\cdots p_{n}>p_{n+1}^{2}} ou p n + 1 < p n # {\displaystyle p_{n+1}<{\sqrt {p_{n}\#}}} .

Elle est une conséquence facile du postulat de Bertrand : p n + 1 < 2 p n {\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}  ; en effet p n + 1 2 < 4 p n 2 < 8 p n − 1 p n < 2 × 3 × 5 × p n − 1 p n ⩽ p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<8p_{n-1}p_{n}<2\times 3\times 5\times p_{n-1}p_{n}\leqslant p_{1}p_{2}...p_{n}} pour n ⩾ 5 {\displaystyle n\geqslant 5} , le cas n = 4 {\displaystyle n=4} se montrant à la main.

Mais elle possède une démonstration élémentaire directe plus courte que celle du postulat de Bertrand [2].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bonse's inequality » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (de) H. Bonse, « Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung », Archiv der Mathematik und Physik, vol. 3, no 12,‎ , p. 292–295
  2. ↑ « Olympiades françaises de mathématiques », sur maths-olympiques.fr,

Bibliographie

  • (en) J. V. Uspensky et M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, New York, McGraw-Hill, , p. 87
  • (en) Shaohua Zhang, « A new inequality involving primes », (arXiv 0908.2943)
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres