Groupe d'homotopie

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et ${\displaystyle x_{0}}$ un point de X. Soit ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{i}}$. Son bord ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}^{i}={\mathcal {S}}^{i-1}}$ est la sphère unité de dimension ${\displaystyle i-1}$.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ est l'ensemble des classes d'homotopie relative à ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{i-1}}$ d'applications continues ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}^{i}\to X}$ telle que : ${\displaystyle f({\mathcal {S}}^{i-1})=\{x_{0}\}}$.

Un élément de ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la ${\displaystyle (i-1)}$-sphère vers le point de référence ${\displaystyle x_{0}\in X}$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{i-1}}$.

Deuxième définition

En identifiant le bord de la boule ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ à un point ${\displaystyle s_{0}}$, on obtient une sphère ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}}$ et chaque élément de ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ se définit par les classes d'homotopie des applications ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}\to X}$ par lesquelles le point base ${\displaystyle s_{0}}$ de la sphère se transforme en ${\displaystyle x_{0}}$. On peut dire que les éléments du groupe ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}\to X}$ pour lesquelles on a : ${\displaystyle s_{0}\mapsto x_{0}}$.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ avec le cube ${\displaystyle \mathbb {I} ^{i}=[0,1]^{i}}$ de dimension i dans ℝⁱ.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube ${\displaystyle f,g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})}$ est l'application ${\displaystyle f+g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})}$ définie par la formule :

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[0,1/2\right]}$

et

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[1/2,1\right].}$

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.

On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).

On obtient le groupe fondamental si i = 1.

Propriétés et outils

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

On a une généralisation des groupes d'homotopie.

Soient X un espace topologique, A ⊂ X et x un point de X.

Soient I^r = [0, 1]^r et J^r = (∂I^r-1 × I) ∪ (I^r-1 × {1}) = ∂I^r \ int(I^r-1 × {0}).

Le r-ième groupe d'homotopie relatif ${\displaystyle \pi _{r}(X,A,x)}$ est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues ${\displaystyle f:(I^{r},\partial {I^{r}},J^{r})\to (X,A,x)}$ telles que : ${\displaystyle f(I^{r})\subset X}$, ${\displaystyle f(\partial {I^{r}})\subset A}$, ${\displaystyle f(J^{r})=x}$, avec des homotopies de même forme.

• ${\displaystyle \pi _{r}(X,x,x)=\pi _{r}(X,x)}$ donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
• De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
• On a une suite exacte longue :${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(A,x){\xrightarrow {i_{*}}}\pi _{n}(X,x){\xrightarrow {j_{*}}}\pi _{n}(X,A,x){\xrightarrow {d}}\pi _{n-1}(A,x)\rightarrow \cdots }$où i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de ${\displaystyle (I^{r},\partial {I^{r}},J^{r})}$ à ${\displaystyle I^{r-1}}$.

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration

Soit p : E → B une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)}$.

Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés ${\displaystyle \pi _{i}(X,A,x_{0})}$ et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés ${\displaystyle H_{i}(X,A)}$. Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel ${\displaystyle h_{n}:\pi _{n}(X,A,*)\to H_{n}(X,A)}$.

Si ${\displaystyle A\subset X}$ sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour ${\displaystyle n\geq 2}$ alors :

• d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que ${\displaystyle H_{i}(X,A)=0}$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments ${\displaystyle \omega (\beta )-\beta }$ avec ${\displaystyle \omega \in \pi _{1}(A,*)}$ et ${\displaystyle \beta \in \pi _{n}(X,A,*)=1}$ ; en particulier, si ${\displaystyle \pi _{1}(A,*)=1}$, alors ${\displaystyle h_{n}}$ est un isomorphisme ;
• d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, ${\displaystyle n\geq 2}$, on a ${\displaystyle H_{i}(X,*)=0}$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».

Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)

Théorèmes de périodicité de Bott

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Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π₁.

Méthodes de calcul

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères

Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace, est commutatif et l'action du π₁ sur les π_i est triviale.

Voir aussi

Articles connexes

• Groupe de cohomotopie (en)
• Théorème de Kuiper (en)
• Tour de Postnikov

Bibliographie

• Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, 1984 [détail des éditions], vol. 2 et 3
• Jean Dieudonné, Éléments d'Analyse, Jacques Gabay, vol. 9
• (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, Cambridge University Press, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)

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