Forme bilinéaire non dégénérée

En mathématiques, une forme bilinéaire non dégénérée est une forme bilinéaire telle que le seul vecteur orthogonal, à gauche ou à droite, de tous les vecteurs selon cette forme est le vecteur nul {0}.

Par exemple, un produit scalaire est un cas particulier de forme bilinéaire non dégénérée.

Définitions

Soient K un corps, E un K-espace vectoriel à gauche, F un K-espace vectoriel à droite et f une forme bilinéaire sur E×F.

  • On dit que f est dégénérée à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément non nul y 0 {\displaystyle y_{0}} de F (resp. x 0 {\displaystyle x_{0}} de E) tel que f ( x , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x,y_{0})=0} pour tout x ∈ E {\displaystyle x\in E} (resp. f ( x 0 , y ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y)=0} pour tout y ∈ F {\displaystyle y\in F} ).
  • On appelle espace singulier à droite le sous-espace suivant de F :
    S d ( f ) = { y ∈ F ,   ∀ x ∈ E ,   f ( x , y ) = 0 } {\displaystyle S_{d}(f)=\{y\in F,\ \forall x\in E,\ f(x,y)=0\}}
  • On définit de même l'espace singulier à gauche S g ( f ) ⊂ E . {\displaystyle S_{g}(f)\subset E.}
  • On dit que f est non dégénérée si elle est non dégénérée à droite et à gauche.

Propriétés

  • Pour un vecteur x de E, notons f ( x , ⋅ ) {\displaystyle f(x,\cdot )} la fonction partielle de f qui à y ∈ F {\displaystyle y\in F} associe f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} . C'est une forme linéaire sur F, donc un élément du dual algébrique F* (qui est, comme E, un K-espace vectoriel à gauche). De plus, l'application f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} de E dans F* qui à x {\displaystyle x} associe f ( x , ⋅ ) {\displaystyle f(x,\cdot )} est linéaire. Par construction,
    S g ( f ) = ker ⁡ f ^ . {\displaystyle S_{g}(f)=\ker {\hat {f}}.}
  • Si E et F sont de dimension finie, S g ( f ) = { 0 → } {\displaystyle S_{g}(f)=\{{\overrightarrow {0}}\}} si et seulement si S d ( f ) = { 0 → } {\displaystyle S_{d}(f)=\{{\overrightarrow {0}}\}} , et cela équivaut à dire que f est non dégénérée.
  • Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E×E est définie (c'est donc un produit scalaire). C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.

Références

  • J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Dunod, 1990
  • N. Bourbaki, Éléments de mathématique, vol. II : Algèbre, Chapitre 9, Berlin, Hermann, (réimpr. 2007), 205 p. (ISBN 978-3-540-35338-6, présentation en ligne)
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