Domaine effectif

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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée ${\bar {\mathbb {R} }}$ est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$ .

Définition

Le domaine effectif (ou simplement domaine) d'une fonction $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ , définie sur un ensemble $\mathbb {E}$ , est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$ (elle peut y prendre la valeur $-\infty$ cependant). On le note le plus souvent

$\operatorname {dom} \,f:=\{x\in \mathbb {E} :f(x)<+\infty \}.$

On accepte que $f$ prenne la valeur $-\infty$ sur son domaine pour que celui-ci soit convexe lorsque $f$ est convexe.

Propriété

Domaine d'une fonction convexe — Soient $\mathbb {E}$ un espace vectoriel et $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ une fonction convexe. Alors le domaine de $f$ est convexe.

On notera cependant que le domaine d'une fonction convexe fermée n'est pas nécessairement fermé. Par exemple la fonction log-barrière

$\operatorname {l\!b} :x\in \mathbb {R} \mapsto \operatorname {l\!b} (x)=\left\{{\begin{array}{ll}-\log x&{\mbox{si}}~x>0\\+\infty &{\mbox{sinon.}}\end{array}}\right.$

est convexe fermée, mais son domaine effectif $\mathbb {R} _{++}$ n'est pas fermé dans $\mathbb {R}$ .

Bibliographie

(en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. (ISBN 3-540-42205-6).
(en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.