D-module

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En mathématiques, un D-module est un module sur un anneau D d'opérateurs différentiels. L'intérêt principal des D-modules réside en son utilisation dans l'étude d'équations aux dérivées partielles.

D-modules sur des variétés algébriques

La théorie générale des D-modules nécessite une variété algébrique lisse X définie sur un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle, par exemple K = C. Le faisceau des opérateurs différentiels DX est défini comme la OX-algèbre générée par les champs de vecteurs sur X, interprétés comme des dérivations. Un DX-module (à gauche) M est un OX-module avec une action de groupe (à gauche) de DX. Se donner une telle action est équivalent à avoir une application K-linéaire

∇ : D X → E n d K ( M ) , v ↦ ∇ v {\displaystyle \nabla :D_{X}\rightarrow End_{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}}

satisfaisant :

∇ f v ( m ) = f ∇ v ( m ) {\displaystyle \nabla _{fv}(m)=f\nabla _{v}(m)}
∇ v ( f m ) = v ( f ) m + f ∇ v ( m ) {\displaystyle \nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\nabla _{v}(m)} (c'est la règle de Leibniz)
∇ [ v , w ] ( m ) = [ ∇ v , ∇ w ] ( m ) {\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}

Où f est une application régulière sur X, v et w sont des champs de vecteurs, m une section locale de M et où [−, −] désigne le commutateur.

Références

  • (en) S. C. Coutinho, A Primer of Algebraic D-modules, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts » (no 33), , 220 p. (ISBN 978-0-521-55119-9, lire en ligne)
  • (en) Armand Borel, Algebraic D-Modules, Boston, MA, Academic Press, coll. « Perspectives in Mathematics » (no 2), , 355 p. (ISBN 978-0-12-117740-9)
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