Décomposition d'Adomian

La décomposition d'Adomian est une méthode semi-analytique de résolution d'équations différentielles développée par le mathématicien américain George Adomian (en) durant la seconde partie du XX^e siècle. On rencontre fréquemment l'utilisation d'ADM pour Adomian Decomposition Method.

Généralités

On considère le problème de Cauchy suivant :

${\dfrac {dy}{dt}}=f(t,y)\quad {\text{et}}\quad y(0)=y_{0}$

Cette équation vérifiée par y est générale dans la mesure où y peut être à valeurs vectorielles et que nous n'avons pas de condition sur f. Il faut bien noter que dans cette méthode, il est plus commode de considérer y comme un vecteur et f comme une fonction pour éviter des confusions :

${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}&\to &\mathbb {R} ^{d}\\&(t,y)&\mapsto &f(t,y)\end{matrix}}$

Considérant que f est analytique proche de y=y₀ et t=0, résoudre le problème initial revient à résoudre :

$y(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f\left(s,y(s)\right)\,\mathrm {d} s$

Méthode d'Adomian

La méthode d'Adomian consiste à décomposer y comme une série :

$y=y_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }y_{n}$

et à décomposer de la même manière la fonction f :

$f(t,y)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}(t,y_{0},y_{1},...,y_{n}),$

où les fonctions A_n sont les polynômes d'Adomian, calculés formellement comme-ci :

$A_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \varepsilon ^{n}}}f\left(t,\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}\varepsilon ^{i}\right){\Bigg |}_{\varepsilon =0}.$

En injectant les deux premières décompositions dans l'équation intégrale, on peut en déduire une méthode itérative de calcul des y_n :

$y_{n+1}=\int _{0}^{t}A_{n}\left(s,y_{0}(s)...,y_{n}(s)\right)\,\mathrm {d} s$

Démonstration

On part de la formulation intégrale

y(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f\left(s,y(s)\right)\,\mathrm {d} s\quad \Rightarrow \quad y(t)-y_{0}=\int _{0}^{t}f\left(s,y(s)\right)\,\mathrm {d} s

Or la décomposition de y donne :

y(t)-y_{0}=\sum _{n=1}^{\infty }y_{n}(t)

Soit par égalité :

\sum _{n=1}^{\infty }y_{n}(t)=\int _{0}^{t}f\left(s,y(s)\right)\,\mathrm {d} s

Il suffit d'injecter la décomposition de la fonction f :

\sum _{n=1}^{\infty }y_{n}=\int _{0}^{t}\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}(t,y_{0},y_{1},...,y_{n})\,\mathrm {d} s

Dans un premier temps on ré-indice la série de gauche. Ensuite sous réserve que la convergence de la série des A_n vers f est uniforme sur le segment [0,t] (ce qui est valide avec l'hypothèse d'analyticité de f), on intervertit somme et intégrale :

\sum _{n=0}^{\infty }y_{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}A_{n}(t,y_{0},y_{1},...,y_{n})\,\mathrm {d} s

Puis on identifie les termes. Évidemment ce n'est pas l'unique solution mais elle nous satisfait entièrement. En effet, le calcul de y_n en lui-même n'est pas très important, c'est la série qui découlera de ce calcul itératif qui nous intéressera (celle-ci construisant la solution y) :

$y_{n+1}=\int _{0}^{t}A_{n}(t,y_{0},y_{1},...,y_{n})\,\mathrm {d} s$

Pouvant calculer à la suite chaque y_n, on construit au fur et à mesure la solution finale y par sommation.

Polynômes en dimension 1

Dans cette section on se restreint à d=1. Nous allons expliciter les premiers polynômes d'Adomian (les dérivées correspondent à des dérivées partielles par rapport à y) :

A_{0}={\frac {1}{0!}}\ f\left(t,\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}\varepsilon ^{i}\right){\Bigg |}_{\varepsilon =0}=f\left(t,y_{0}\right),

A_{1}={\frac {1}{1!}}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}f\left(t,\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}\varepsilon ^{i}\right){\Bigg |}_{\varepsilon =0}=y_{1}{\frac {\partial }{\partial y}}f\left(t,y_{0}\right),

A_{2}={\frac {1}{2!}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varepsilon ^{2}}}f\left(t,\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}\varepsilon ^{i}\right){\Bigg |}_{\varepsilon =0}=y_{2}{\frac {\partial }{\partial y}}f\left(t,y_{0}\right)+{1 \over 2}y_{1}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}f\left(t,y_{0}\right).

Bibliographie

Abdelrazec, Ahmed. Adomian Decomposition Method : Convergence Analysis and Numerical Approximations [En ligne] (Thesis, Mathematics) McMaster University (Hamilton, Ontario), 2008 lien
Adomian, G. (1994). Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method. Kluwer Academic Publishers