Constante oméga

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Ne doit pas être confondu avec Oméga de Chaitin, constante mathématique définie en théorie algorithmique de l'information.

En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est le réel positif défini par l'égalité

Ω e Ω = 1 {\displaystyle \Omega \mathrm {e} ^{\Omega }=1} ,

où exp est la fonction exponentielle.

Autres définitions

La constante Ω vérifie :

  • Ω = W 0 ( 1 ) {\displaystyle \Omega =W_{0}(1)} .
    En effet, la fonction W de Lambert est la réciproque de la fonction t ↦ t exp ⁡ ( t ) {\displaystyle t\mapsto t\exp(t)} . Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction Oméga ;
  • Ω = exp ⁡ ( − Ω ) {\displaystyle \Omega =\exp(-\Omega )}  ;
  • Ω = − ln ⁡ Ω {\displaystyle \Omega =-\ln \Omega } .

Propriétés

Valeur approchée

Ω = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS).

Calcul itératif

Toute suite définie par récurrence par une valeur initiale arbitraire Ω0 et Ω n + 1 = e − Ω n {\displaystyle \Omega _{n+1}=\mathrm {e} ^{-\Omega _{n}}} converge vers Ω.

Représentations intégrales

∫ − ∞ + ∞ 1 ( e x − x ) 2 + π 2 d x = 1 1 + Ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1+\Omega }}}
Ω = 1 π Re ⁡ ∫ 0 π log ⁡ ( e e i t − e − i t e e i t − e i t ) d t = 1 π ∫ 0 π log ⁡ ( 1 + sin ⁡ t t e t cot ⁡ t ) d t {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}t}}{{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}}\right){\rm {d}}t={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}{\rm {e}}^{t\cot t}\right){\rm {d}}t} [1]

Transcendance

D'après le théorème d'Hermite-Lindemann, Ω est transcendant. En effet, si Ω était algébrique, Ω = e − Ω {\displaystyle \Omega =\mathrm {e} ^{-\Omega }} serait transcendant, ce qui est contradictoire.

Voir aussi

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Omega Constant », sur MathWorld
  • (en) The Omega constant (Gérard P. Michon, Numerical Constants)

Notes et références

  1. ↑ István Mező, « An integral representation for the Lambert W function », arXiv:2012.02480 [math],‎ (lire en ligne, consulté le )
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Omega constant » (voir la liste des auteurs).
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres