Constante de Gelfond

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En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant eπ, c'est-à-dire e à la puissance π.

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres –1 (différent de 0 et 1) et –i (non rationnel) sont algébriques, or

e π = ( e i π ) − i = ( − 1 ) − i {\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }=({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi })^{-{\rm {i}}}=(-1)^{-{\rm {i}}}}

(En considérant, la détermination principale de l'argument).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 2√2.

Valeur numérique

Sous forme décimale, la constante est égale à

e π ≈ 23 , 140692632. {\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }\approx 23,140692632.}

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

k n = 1 − 1 − k n − 1 2 1 + 1 − k n − 1 {\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}}}}}}

où k 0 = 1 2 . {\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}

Après N itérations, l'approximation est donnée par

( k N 4 ) − 1 2 N . {\displaystyle \left({\frac {k_{N}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{N}}}.}

Développement décimal remarquable

Le nombre

e π − π = 19 , 99909998 … {\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }-\pi =19,99909998\ldots }

est un nombre presque entier.

Voir aussi

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Gelfond's Constant », sur MathWorld

Bibliographie

(en) Samuel W. Gilbert, The Riemann Hypothesis and the Roots of the Riemann Zeta Function, BookSurge, , 140 p. (ISBN 978-1-4392-1638-5, lire en ligne), p. 93

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gelfond's constant » (voir la liste des auteurs).
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