Constante de Gauss

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En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de 2[1],[2],[3] :

G = 1 M ( 1 , 2 ) ≈ 0,834 6268 {\displaystyle G={\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}\approx 0{,}8346268} [N 1].

L'éponyme de cette constante est le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (-) car il a découvert le [4],[5],[6],[N 2] à Brunswick[N 2] que :

G = 2 π ∫ 0 1 d x 1 − x 4 {\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}} .

Relation avec d'autres constantes

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

G = 1 2 π B ( 1 4 , 1 2 ) {\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)}

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

G = Γ ( 1 4 ) 2 / ( 2 π ) 3 / 2 {\displaystyle G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}}

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.

  • La première est
    L 1 = π G = L 2 {\displaystyle L_{1}=\pi G={\frac {L}{2}}}
    où L = ( Γ ⁡ ( 1 / 4 ) ) 2 2 π {\displaystyle L={\frac {\left(\operatorname {\Gamma } (1/4)\right)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}} est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre a = 1
  • La seconde est
    L 2 = 1 2 G {\displaystyle L_{2}={\frac {1}{2G}}} .

Autres formules

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

G = ϑ 01 2 ( e − π ) {\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })} .

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

G = 32 4   e − π 3 ( ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e − 2 n π ( 3 n + 1 ) ) 2 {\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}} .

La constante est aussi donnée par un produit infini :

G = ∏ m = 1 ∞ tanh 2 ⁡ ( π m 2 ) {\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)} .

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][N 3].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gauss's constant » (voir la liste des auteurs).

Notes

  1. ↑ Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.
  2. ↑ a et b Sont retenus, la date et le lieu que Gauss a notés (n. 98) dans son Journal de mathématiques (-)[7]. Borwein et Bailey ont publié un fac-similé de la note manuscrite de Gauss[8]. La note, en latin, est la suivante : « Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 {\displaystyle 1} et 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} esse = π ϖ {\displaystyle ={\frac {\pi }{\varpi }}} usque ad figuram undecimam comprobavimus, quare demonstrata prorsus novus campus in analysis certo aperietur. » Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.
  3. ↑ Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.

Références

  1. ↑ Gourdon 2020, p. 190.
  2. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Constant », sur MathWorld.
  3. ↑ (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions : With Equator, New York, NY, Springer, , 748 p. (ISBN 978-0-387-48806-6, lire en ligne), p. 15.
  4. ↑ Barnett 2020, p. 47.
  5. ↑ Cox 1984, p. 281.
  6. ↑ Khelif 2010.
  7. ↑ Eymard et Lafond 1956, n. 98, p. 40-41.
  8. ↑ Borwein et Bailey 2008, fig. 1.2, p. 15.

Voir aussi

Bibliographie

  • [Barnett 2020] (en) Janet Heine Barnett, « A Gaussian tale for the classroom », dans Maria Zack et Dirk Schlimm (éd.), Research in history and philosophy of mathematics : the CSHPM volume, Cham, Birkhäuser, coll. « Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques » (no 5), , 1re éd., XIII-172 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-3-030-31196-4, EAN 9783030311964, OCLC 1240212492, DOI 10.1007/978-3-030-31298-5, SUDOC 253878772, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 9, p. 139-155.
  • [Borwein et Bailey 2008] (en) Jonathan M. Borwein et David H. Bailey, Mathematics by experiment : plausible reasoning in the 21st century, Wellesley, A. K. Peters, hors coll., , 2e éd. (1re éd. ), XI-377-[4], 15,2 × 22,9 cm (ISBN 978-1-56881-442-1, EAN 9781568814421, OCLC 494547277, DOI 10.1201/b10704, SUDOC 130966479, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Cox 1984] (en) David A. Cox, « The arithmetic-geometric mean of Gauss », L'Enseignement mathématique, 2e série, t. XXX,‎ , p. 275-330 (OCLC 937363834, DOI 10.5169/seals-53831, lire en ligne Accès libre [PDF]).
  • [Eymard et Lafond 1956] Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, « Le Journal mathématique de Gauss : traduction française annotée », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, t. IX, no 1,‎ , p. 21-51 (OCLC 4649261821, DOI 10.3406/rhs.1956.4346, JSTOR 23904695, lire en ligne Accès libre [PDF]).
  • [Gourdon 2020] Xavier Gourdon, Analyse, Paris, Ellipses, coll. « Les maths en tête » (no 1), , 3e éd. (1re éd. ), 452 p., 17,5 × 26 cm (ISBN 978-2-340-03856-1, EAN 9782340038561, OCLC 1160201780, BNF 46557782, SUDOC 24513283X, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

Liens externes

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