Constante de Backhouse

La constante de Backhouse est une constante mathématique portant le nom du mathématicien Nigel Backhouse. Sa valeur est d'environ 1,456 074 948.

Elle est définie via la série entière dont les coefficients sont les nombres premiers croissants :

P ( x ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ p k x k = 1 + 2 x + 3 x 2 + 5 x 3 + 7 x 4 + ⋯ {\displaystyle P(x)=1+\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}x^{k}=1+2x+3x^{2}+5x^{3}+7x^{4}+\cdots }

et son inverse multiplicatif :

Q ( x ) = 1 P ( x ) = ∑ k = 0 ∞ q k x k . {\displaystyle Q(x)={\frac {1}{P(x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}x^{k}.}

Alors:

lim k → ∞ | q k + 1 q k | = 1 , 45607 … {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\frac {q_{k+1}}{q_{k}}}\right\vert =1,45607\ldots } [1].

L'existence de la limite a été conjecturée par Backhouse[2], et prouvée par Philippe Flajolet[3].

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Backhouse's constant » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ suite A072508 de l'OEIS
  2. ↑ N. Backhouse, Formal reciprocal of a prime power series, coll. « unpublished note »,
  3. ↑ Philippe Flajolet, On the existence and the computation of Backhouse's constant, coll. « Unpublished manuscript »,
    Reproduced in Hsien-Kuei Hwang « Les cahiers de Philippe Flajolet » () (lire en ligne, consulté le )
    —AofA 2014 - 25th International Conference on Probabilistic, Combinatorial and Asymptotic Methods for the Analysis of Algorithms (lire en ligne)
    with Brigitte Vallée and Julien Clément

Bibliographie

  • (en) Eric W. Weisstein, « Constante de Backhouse », sur MathWorld
  • suite A030018 de l'OEIS, coefficients de Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} .
  • suite A074269 de l'OEIS, coefficients du développement en fraction continue de la constante de Backhouse
  • suite A088751 de l'OEIS, suite des décimales de l'inverse de la constante de Backhouse
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