Conjecture de Szpiro

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En théorie des nombres, la conjecture de Szpiro met en relation le conducteur (en) et le discriminant d'une courbe elliptique. Sous une forme légèrement modifiée, elle est équivalente à la conjecture abc bien connue. Elle porte le nom de Lucien Szpiro qui l'a formulée dans les années 1980.

Enoncé original

La conjecture stipule que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec un discriminant minimal Δ et un conducteur f, nous avons

| Δ | ≤ C ( ε ) ⋅ f 6 + ε . {\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}

Conjecture de Szpiro modifiée

La conjecture de Szpiro modifiée déclare que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec pour invariants c4, c6 et pour conducteur f (en utilisant la notation de l'algorithme de Tate (en)), nous avons

max { | c 4 | 3 , | c 6 | 2 } ≤ C ( ε ) ⋅ f 6 + ε . {\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}

Preuves revendiquées

En août 2012, Shinichi Mochizuki revendique une preuve de la conjecture de Szpiro en développant une nouvelle théorie appelée théorie de Teichmüller inter-universelle (en) (IUTT)[1]. Cependant, les articles n'ont pas été acceptés par la communauté mathématique comme fournissant une preuve de la conjecture[2],[3],[4], avec Peter Scholze et Jakob Stix concluant en mars 2018 que l'écart était « si grave que ... de petites modifications ne sauvera pas la stratégie de preuve »[5],[6],[7].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Szpiro's conjecture » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Ball, « Proof claimed for deep connection between primes », Nature,‎ (DOI 10.1038/nature.2012.11378, lire en ligne, consulté le )
  2. ↑ (en) Timothy Revell, « Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary' », New Scientist,‎ (lire en ligne).
  3. ↑ Conrad, « Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad », (consulté le )
  4. ↑ Castelvecchi, « The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof », Nature, vol. 526, no 7572,‎ , p. 178–181 (PMID 26450038, DOI 10.1038/526178a, Bibcode 2015Natur.526..178C)
  5. ↑ Scholze et Stix, « Why abc is still a conjecture » (consulté le ) (version mise à jour de leur rapport de mai.)
  6. ↑ (en) Erica Klarreich, « Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture », Quanta Magazine,‎ (lire en ligne).
  7. ↑ « March 2018 Discussions on IUTeich » (consulté le ) Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material

Bibliographie

  • (en) S. Lang, Survey of Diophantine geometry, Berlin, Springer-Verlag, (ISBN 3-540-61223-8, zbMATH 0869.11051), p. 51.
  • (en) L. Szpiro, « Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux », Astérisque, vol. 86, no 3,‎ , p. 44–78 (zbMATH 0463.00009).
  • (en) L. Szpiro, « Présentation de la théorie d'Arakelov », Contemp. Math., vol. 67,‎ , p. 279–293 (DOI 10.1090/conm/067/902599, zbMATH 0634.14012).

Liens externes

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