Congruence d'Ankeny-Artin-Chowla

En théorie des nombres, la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla est un résultat publié en 1951 par Nesmith Ankeny (en), Emil Artin et Sarvadaman Chowla. Elle concerne le nombre de classes h de l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel de discriminant d > 0. Si l'unité fondamentale du corps est

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}})\,}$

avec t et u entiers, elle exprime sous une autre forme la classe de congruence modulo p de

${\displaystyle {\frac {ht}{u}}}$

pour tout nombre premier p > 2 qui divise d. Dans le cas p > 3, elle établit :

${\displaystyle -2{mht \over u}\equiv \sum _{0<k<d}{\chi (k) \over k}\lfloor {k/p}\rfloor \mod p}$

où ${\displaystyle m={\frac {d}{p}}}$ et ${\displaystyle \chi }$ est le caractère de Dirichlet pour le corps quadratique. Pour p = 3, il existe un facteur (1 + m) multipliant le côté gauche de l'équation. Ici,

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

représente la fonction partie entière de x.

Un résultat relié est le suivant :

${\displaystyle {\text{si}}\quad d=p\equiv 1\mod 4\quad {\text{alors}}\quad {u \over t}h\equiv B_{\frac {p-1}{2}}\mod p,}$

où B_n est le n-ième nombre de Bernoulli.

Il existe certaines généralisations de ces résultats de base dans les articles des auteurs.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ankeny–Artin–Chowla congruence » (voir la liste des auteurs).
• (en) N. C. Ankeny, E. Artin et S. Chowla, « The class-number of real quadratic number fields », Ann. Math., vol. 56,‎ 1953, p. 479-492

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