Complexe de Vietoris–Rips

En topologie algébrique et en analyse topologique des données (en), le complexe de Vietoris–Rips (aussi appelé complexe de Rips) est un complexe simplicial abstrait construit à partir d'un ensemble de points dans un espace métrique. Il est nommé d'après les mathématiciens Leopold Vietoris et Eliyahu Rips.

Étant donnés un ensemble fini ${\displaystyle X}$ de points et ${\displaystyle \varepsilon >0}$, le complexe de Vietoris–Rips ${\displaystyle {\text{VR}}_{\varepsilon }(X)}$ est défini comme l'ensemble des simplexes ${\displaystyle \sigma \subset X}$ dont le diamètre est au plus ${\displaystyle 2\varepsilon }$, c'est-à-dire tels que la distance entre deux points de ${\displaystyle \sigma }$ est toujours inférieure à ${\displaystyle 2\varepsilon }$^[1] :

${\displaystyle {\text{VR}}_{\varepsilon }(X)=\left\{\sigma \subset X|\mathrm {diam} (\sigma )\leq 2\varepsilon \right\}.}$

Le complexe de Vietoris–Rips contient le complexe de Čech.

Notes et références

• Portail des mathématiques