Cohomologie cyclique

En mathématiques, la cohomologie cyclique d'une ℂ-algèbre ${\displaystyle A}$ (non nécessairement commutative), que l'on note ${\displaystyle HC^{*}(A)}$, est la cohomologie du complexe ${\displaystyle (C_{\lambda }^{n},b)}$ où

• ${\displaystyle C_{\lambda }^{n}}$ est l'espace des formes n + 1-linéaires ${\displaystyle \phi }$ qui vérifient la condition de cyclicité :${\displaystyle \phi (a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n})=(-1)^{n}\phi (a_{1},\cdots ,a_{n},a_{0})}$
• l'opérateur ${\displaystyle b:C_{\lambda }^{n}\to C_{\lambda }^{n+1}}$ est l'opérateur de cobord de Hochschild qui est donné par :${\displaystyle {\begin{aligned}(b\phi )(a^{0},\cdots ,a^{n},a^{n+1})=&\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\phi (a^{0},\cdots ,a^{j}a^{j+1},\cdots ,a^{n+1})\\&+(-1)^{n+1}\phi (a^{n+1}a^{0},\cdots ,a^{n}).\end{aligned}}}$

Cas des petits degrés

Un 0-cocycle n'est donc rien d'autre qu'une trace. En effet, la condition de cyclicité est automatiquement vérifiée et une forme linéaire sur ${\displaystyle A}$ est un cocycle si et seulement si

${\displaystyle (b\phi )(a_{0},a_{1})=\phi (a_{0}a_{1})-\phi (a_{1}a_{0})=0}$

En conséquence, la cohomologie de Hochschild et la cohomologie cyclique sont égales en degré 0.

Appariements

Les cocycles cycliques ont la propriété de s'apparier avec les éléments de K-théorie. Plus précisément, il existe une application qui, partant d'un cocycle cyclique et d'un élément de K-théorie de même parité, leur associe un nombre complexe. Cette application est

• bien définie (le nombre complexe ne dépend que des classes en cohomologie cyclique et K-théorie, et non des représentants choisis)
• linéaire en le cocycle
• et additive en l'élément de K-théorie.

Enfin, cet appariement est donné par une formule tout à fait explicite et calculable.

Références

• (en) Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
• (en) Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, coll. « Grund. der math. Wiss. » (n^o 301), 1998, 2^e éd. (1^re éd. 1992)

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