Avec grande probabilité

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, une suite d'évènements, indexée par les entiers naturels, se réalise avec grande probabilité si la probabilité que le n-ième évènement se réalise converge vers 1 à l'infini.

Définition

Soit ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 0}}$ une suite d'évènements sur un espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Cette suite se réalise avec grande probabilité si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (A_{n})=1}$.

Par abus de langage, on dit aussi que l'évènement ${\displaystyle A_{n}}$ se réalise avec grande probabilité.

Propriétés

• Une suite d'évènements se réalise avec grande probabilité si et seulement si la suite des indicatrices associée converge vers 1 en probabilité.
• Si une suite de variables aléatoires ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ à valeurs dans un espace métrique ${\displaystyle (E,d)}$ converge en loi vers une variable ${\displaystyle X}$ et que presque sûrement ${\displaystyle X}$ appartient à un ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle E}$ alors avec grande probabilité ${\displaystyle X_{n}\in U}$.

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