Algorithme de Gram-Schmidt

En algèbre linéaire, dans un espace préhilbertien (c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le procédé ou algorithme de Gram-Schmidt[1] est un algorithme pour construire, à partir d'une famille libre finie, une base orthonormée du sous-espace qu'elle engendre. On peut aussi utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur une famille infinie dénombrable de vecteurs. Ceci permet de démontrer l'existence d'une base hilbertienne si l'espace est séparable.

Énoncé

Précisément, en notant N = {0,...,p} avec p dans ℕ :

Théorème — Si ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in N}\,} est une famille libre d'un espace préhilbertien, il existe une et une seule famille orthonormée ( e n ) n ∈ N {\displaystyle (e_{n})_{n\in N}\,} telle que :

  • V e c t ( e 0 , … , e n ) = V e c t ( x 0 , … , x n ) {\displaystyle {\rm {Vect}}(e_{0},\ldots ,e_{n})={\rm {Vect}}(x_{0},\ldots ,x_{n})\,} pour tout n
  • les produits scalaires ( e n | x n ) {\displaystyle (e_{n}|x_{n})\,} sont strictement positifs pour tout n

On oublie souvent la seconde condition, qui assure l'unicité. Elle permet de parler de la famille orthonormalisée de Gram-Schmidt associée à ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in N}\,} .

L'étape générale de l'algorithme consiste à soustraire au vecteur vj+1 son projeté orthogonal sur le sous-espace engendré par v0,...,vj. On s'appuie sur la famille orthonormale déjà construite pour le calcul de ce projeté.

Cette méthode a été publiée par Jørgen Pedersen Gram en 1883 et reformulée par Erhard Schmidt en 1907, mais on la trouve déjà dans des travaux de 1816 de Laplace[2].

Applications

  • Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt donne constructivement l'existence de bases orthonormées pour tout espace euclidien ou hermitien. Cet algorithme est ainsi souvent utilisé en informatique pour effectuer des rendus 3D.
  • On peut aussi orthonormaliser la base canonique (1,X, …) de ℝ[X] et obtenir ainsi une famille de polynômes orthogonaux.
  • Le procédé de Schmidt peut être utilisé dans la décomposition QR d'une matrice[3].

Procédé de Gram-Schmidt

Nous définissons l'opérateur de projection orthogonale sur une droite vectorielle dirigée par le vecteur u par[4] :

p r o j u ( v ) = ⟨ u , v ⟩ ⟨ u , u ⟩ u . {\displaystyle \mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,(\mathbf {v} )={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u} .}

Le procédé de Gram-Schmidt est alors :

Les deux premières étapes du procédé de Gram–Schmidt.
u 1 = v 1 , {\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},} e 1 = u 1 ‖ u 1 ‖ {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\mathbf {u} _{1} \over \|\mathbf {u} _{1}\|}}
u 2 = v 2 − p r o j u 1 ( v 2 ) , {\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2}),} e 2 = u 2 ‖ u 2 ‖ {\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\mathbf {u} _{2} \over \|\mathbf {u} _{2}\|}}
u 3 = v 3 − p r o j u 1 ( v 3 ) − p r o j u 2 ( v 3 ) , {\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{3})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{3}),} e 3 = u 3 ‖ u 3 ‖ {\displaystyle \mathbf {e} _{3}={\mathbf {u} _{3} \over \|\mathbf {u} _{3}\|}}
⋮ {\displaystyle \vdots } ⋮ {\displaystyle \vdots }
u k = v k − ∑ j = 1 k − 1 p r o j u j ( v k ) , {\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\,(\mathbf {v} _{k}),} e k = u k ‖ u k ‖ {\displaystyle \mathbf {e} _{k}={\mathbf {u} _{k} \over \|\mathbf {u} _{k}\|}}

Avec :

  • < , >, le produit scalaire dans l'espace considéré
  • v1, ..., vk, un ensemble de vecteurs non liés
  • u1, ..., uk, un ensemble de vecteurs orthogonaux deux à deux
  • e1, ..., ek, l'ensemble de vecteurs orthonormaux deux à deux recherché
Démonstration

La démonstration du résultat se fait par récurrence, en montrant à chaque étape que le vecteur uk est orthogonal aux vecteurs construits aux étapes précédentes.

  • À l'étape 1, il n'y a qu'un seul vecteur, donc la propriété est vérifiée.
  • À l'étape 2, on a, par linéarité à droite du produit scalaire :
⟨ u 1 , u 2 ⟩ = ⟨ v 1 , v 2 − ⟨ v 1 , v 2 ⟩ ⟨ v 1 , v 1 ⟩ v 1 ⟩ = ⟨ v 1 , v 2 ⟩ − ⟨ v 1 , v 2 ⟩ ⟨ v 1 , v 1 ⟩ ⟨ v 1 , v 1 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle }}\mathbf {v} _{1}\right\rangle =\left\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\right\rangle -{\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle }}\left\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\right\rangle =0}

donc (u1, u2) sont bien orthogonaux

  • À l'étape k, supposons donc que u1, ..., uk–1 sont bien orthogonaux deux à deux. Alors, toujours par linéarité à droite du produit scalaire :
∀ i ≠ k , ⟨ u i , u k ⟩ = ⟨ u i , v k − ∑ j = 1 k − 1 ⟨ u j , v k ⟩ ⟨ u j , u j ⟩ u j ⟩ = ⟨ u i , v k ⟩ − ∑ j = 1 k − 1 ⟨ u j , v k ⟩ ⟨ u j , u j ⟩ ⟨ u i , u j ⟩ = ⟨ u i , v k ⟩ − ⟨ u i , v k ⟩ ⟨ u i , u i ⟩ ⟨ u i , u i ⟩ = 0 {\displaystyle \forall i\neq k,\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{k}\rangle =\left\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {\langle \mathbf {u} _{j},\mathbf {v} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{j},\mathbf {u} _{j}\rangle }}\mathbf {u} _{j}\right\rangle =\left\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {v} _{k}\right\rangle -\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {\langle \mathbf {u} _{j},\mathbf {v} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{j},\mathbf {u} _{j}\rangle }}\left\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j}\right\rangle =\left\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {v} _{k}\right\rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {v} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{i}\rangle }}\left\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{i}\right\rangle =0}

Ce qui permet de conclure.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gram–Schmidt process » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Mathématiques Tout-en-un. 2e année MP, Paris, Dunod, , 2e éd., 1279 p. (ISBN 978-2-10-007576-8, BNF 39237416), p. 569
  2. ↑ (en) Gram-Schmidt orthogonalization, dans Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (G)
  3. ↑ A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Méthodes numériques pour le calcul scientifique, Programmes en Matlab, éd. Springer, 2000, p. 83 et suiv. Lire en ligne
  4. ↑ La convention choisie pour le produit scalaire hermitien étant ici : linéarité à droite et semi-linéarité à gauche.
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