Accouplement de Tate

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En géométrie algébrique et en théorie des nombres, plusieurs constructions différentes sont appelées accouplement[Note 1] de Tate, en référence au mathématicien américain John Tate. Il s'agit dans tous les cas d'accouplements, c'est-à-dire d'applications bilinéaires jouissant de propriétés remarquables, généralement construits pour des variétés abéliennes définies sur un corps local ou fini.

Accouplement de Tate peut désigner :

  • accouplement de Lichtenbaum-Tate, introduit par Tate[1],[2] et Lichtenbaum[3], qui joue un rôle important en cryptographie sur courbes elliptiques et à base de couplages.
  • accouplement de Néron-Tate, introduit par Néron et Tate[4], est lié à l'étude de la hauteur canonique sur une variété abélienne. Il est généralisé par l'accouplement de Beilinson-Bloch ;
  • accouplement de Cassels-Tate, introduit par Cassels[5] et Tate[2], intervient dans l'étude du groupe de Tate-Shafarevich des variétés abéliennes ;
  • accouplements Ate[6] et Eta[7], des variantes de celui de Lichtenbaum-Tate, plus faciles à calculer et améliorant la performance des implémentations cryptographiques correspondantes.

Notes et références

Notes

  1. ↑ On trouve aussi parfois, de manière moins précise, « couplage » de Tate.

Références

  1. ↑ (en) John Tate, WC-groups over p-adic fields, vol. 4, Séminaire Bourbaki, (lire en ligne), p. 265-277
  2. ↑ a et b (en) John Tate, « Duality theorems in Galois cohomology over number fields », Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Inst. Mittag-Leffler,‎ , p. 288–295 (lire en ligne)
  3. ↑ (en) Stephen Lichtenbaum, « Duality theorems for curves overP-adic fields », Inventiones Mathematicae, vol. 7, no 2,‎ , p. 120–136 (ISSN 0020-9910 et 1432-1297, DOI 10.1007/bf01389795, lire en ligne, consulté le )
  4. ↑  ;Serge Lang, « Les formes bilinéaires de Néron et Tate », Séminaire Bourbaki, vol. 8,‎ , p. 435-445 (lire en ligne)
  5. ↑ (en) J.W.S. Cassels, « Arithmetic on Curves of Genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung. », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1962, no 211,‎ , p. 95-112 (ISSN 0075-4102, lire en ligne)
  6. ↑ (en) F. Hess, N.P. Smart et F. Vercauteren, « The Eta Pairing Revisited », IEEE Transactions on Information Theory, vol. 52, no 10,‎ , p. 4595–4602 (ISSN 0018-9448, DOI 10.1109/tit.2006.881709, lire en ligne, consulté le )
  7. ↑ (en) Paulo S. L. M. Barreto, Steven D. Galbraith, Colm Ó’ hÉigeartaigh et Michael Scott, « Efficient pairing computation on supersingular Abelian varieties », Designs, Codes and Cryptography, vol. 42, no 3,‎ , p. 239–271 (ISSN 0925-1022 et 1573-7586, DOI 10.1007/s10623-006-9033-6, lire en ligne, consulté le )
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