Équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

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L'équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff est l'équation de l'équilibre hydrostatique en relativité générale.

Elle s'écrit[1] :

d p d r = − ( ρ c 2 + p ) d Φ d r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-\left(\rho c^{2}+p\right){\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} r}}} ,

avec[2] :

d Φ d r = G c 2 ( m ( r ) + 4 π r 3 p ( r ) c 2 ) 1 r ( r − 2 G m ( r ) c 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} r}}={\frac {G}{c^{2}}}\left(m(r)+{\frac {4\pi r^{3}p(r)}{c^{2}}}\right){\frac {1}{r\left({\dfrac {r-2Gm(r)}{c^{2}}}\right)}}} ,

soit[3] :

d p d r = − G c 2 ( ρ c 2 + p ) ( m ( r ) + 4 π r 3 p ( r ) c 2 ) 1 r ( r − 2 G m ( r ) c 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {G}{c^{2}}}\left(\rho c^{2}+p\right)\left(m(r)+{\frac {4\pi r^{3}p(r)}{c^{2}}}\right){\frac {1}{r\left({\dfrac {r-2Gm(r)}{c^{2}}}\right)}}} .

Limite newtonienne

À la limite newtonienne (c'est-à-dire avec m ≪ r {\displaystyle m\ll r} et p ≪ ρ c 2 {\displaystyle p\ll \rho c^{2}} ), l'équation se réduit à[4] :

d p d r = − − G m r 2 ρ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=--{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho } .

Approximation post-newtonienne

À l'approximation post-newtonienne, l'équation s'écrit[5],[6] :

d p d r = − G m r 2 ρ ( 1 + p ρ c 2 + 4 π r 3 p m c 2 + 2 G m r c 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {p}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}p}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)} .

Histoire

Les éponymes de l'équation sont Richard C. Tolman (-) de l'Institut de technologie de Californie, d'une part, et J. Robert Oppenheimer (-) et George M. Volkoff (-) de l'université de Californie à Berkeley, d'autre part : ils ont adressé leurs articles respectifs[7],[8] à la Physical Review qui les a reçus le même jour, , et les a publiés dans son même numéro du [9].

Notes et références

  1. ↑ Maggiore 2018, § 11.2.1, p. 90 (11.18).
  2. ↑ Maggiore 2018, § 11.2.1, p. 90 (11.21).
  3. ↑ Maggiore 2018, § 11.2.1, p. 90 (11.22).
  4. ↑ Grøn et Hervik 2007, § 10.8, p. 253 (10.253).
  5. ↑ Kippenhahn, Weigert et Weiss 2012, § 2.6, p. 17 (2.32).
  6. ↑ Maciel 2015, p. 22 (2.11).
  7. ↑ Oppenheimer et Volkoff 1939.
  8. ↑ Tolman 1939.
  9. ↑ Haensel, Potekhin et Yakovlev 2007, p. 5.

Voir aussi

Bibliographie

  • [Grøn et Hervik 2007] (en) Øyvind Grøn et Sigbjørn Hervik, Einstein's general theory of relativity : with modern applications in cosmology, New York, Springer, , 1re éd., XX-538 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-387-69199-2 et 978-1-4419-2406-3, EAN 9780387691992, OCLC 77540741, BNF 44643158, DOI 10.1007/978-0-387-69200-5, SUDOC 124591477, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Haensel, Potekhin et Yakovlev 2007] (en) Pawel Haensel, Alexander Y. Potekhin et Dima G. Yakovlev, Neutron stars, t. 1 : Equation of state and structure, New York, Springer, coll. « Astrophysics and space science library » (no 326), , 1re éd., XXIV-619 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-387-33543-8 et 978-1-4419-2214-4, EAN 9780387335438, OCLC 470932120, BNF 41037819, DOI 10.1007/978-0-387-47301-7, Bibcode 2007ASSL..326.....H, SUDOC 112082890, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Kippenhahn, Weigert et Weiss 2012] (en) Rudolf Kippenhahn, Alfred Weigert et Achim Weiss, Stellar structure and evolution, Heidelberg, New York, Dordrecht et Londres, Springer, coll. « Astronomy and astrophysics library », (réimpr. octobre 2020), 2e éd. (1re éd. 1990), XVIII-604 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-30255-8 et 978-3-642-44524-8, EAN 9783642302558, OCLC 824483179, BNF 44704657, DOI 10.1007/978-3-642-30304-3, Bibcode 2013sse..book.....K, SUDOC 16589668X, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Maciel 2015] (en) Walter J. Maciel, Introduction to stellar structure, Cham, Springer, coll. « Springer praxis books / astronomy and planetary sciences », , 1re éd., XIII-215 p., 15 / 6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-319-16141-9 et 978-3-319-36610-4, EAN 9783319161419, OCLC 947337799, BNF 45807296, DOI 10.1007/978-3-319-16142-6, SUDOC 19278885X, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. 2 : Astrophysics and cosmology, Oxford, Oxford University Press, , 1re éd., XIV-820 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Oppenheimer et Volkoff 1939] (en) J. Robert Oppenheimer et George M. Volkoff, « On massive neutron cores », Physical Review, vol. 55, no 4,‎ , p. 374-381 (OCLC 4644047473, DOI 10.1103/PhysRev.55.374, résumé, lire en ligne Accès libre [PDF]).
  • [Tolman 1939] (en) Richard C. Tolman, « Static solutions of Einstein's field equations for spheres of fluid », Physical Review, vol. 55, no 4,‎ , p. 364-373 (OCLC 4644047451, DOI 10.1103/PhysRev.55.364, résumé, lire en ligne Accès libre [PDF]).

Articles connexes

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