Polinomio laburtezin

Eraztunen teorian, ${\displaystyle K}$ gorputza izanik, ${\displaystyle p(x)\in K[x]}$ polinomio ez-nulu bat irreduziblea dela diogu baldin eta honako polinomioaren edozein faktorizaziotan ${\displaystyle p(x)=q(x)r(x)}$ berdintzako ${\displaystyle q(x)}$ eta ${\displaystyle r(x)}$ polinomioetako bat unitatea bada. Hau da, ez badira existitzen ${\displaystyle q(x),r(x)\in K[x]}$ zeinek ${\displaystyle p(x)}$ polinomioaren maila baino maila hertsiki txikiagoa duten eta ${\displaystyle p=r\cdot q}$ betetzen den. Beraz, ${\displaystyle r\in R}$ edo ${\displaystyle q\in R}$ da derrigor; beste era batera esanda, bietako bat polinomio konstante bat izango da. Kontrako kasuan, ${\displaystyle p(x)}$ polinomio erreduziblea dela esaten da.

Erreduzible izatea edo ez gorputzaren arabera aldatzen da eta ${\displaystyle K}$ gorputza, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ zenbaki errealen multzoa, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ zenbaki konplexuen multzoa, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ zenbaki arrazionalen multzoa edo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$ zenbaki osoen multzoa (eraztuna) izan daiteke.

Adibideak

Ondorengo bost polinomioek polinomio erreduzible eta irreduzibleen oinarrizko ezaugarri batzuk erakusten dizkigute, definiturik dauden eremuaren arabera:

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)}$,

${\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)}$,

${\displaystyle p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)}$,

${\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$,

${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)}$.

• ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$ zenbaki osoen eraztunaren gainean, lehen bi polinomioak erreduzibleak dira, baina azken hirurak irreduzibleak dira.
• ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ zenbaki arrazionalen gorputzaren gainean, lehen hiru polinomioak erreduzibleak dira, baina azken biak irreduzibleak dira.
• ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ zenbaki errealen gorputzaren gainean, lehen lau polinomioak erreduzibleak dira, baina azkena irreduziblea da.
• ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ zenbaki konplexuen gorputzaren gainean, bost polinomioak erreduzibleak dira. Izan ere, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$-n polinomio ez konstante bakoitza, faktore linealetan faktorizatu daiteke:

${\displaystyle p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})}$

non ${\displaystyle a_{n}}$ polinomioaren koefiziente nagusia den eta ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$-ren erroak diren. Beraz, polinomio irreduzible guztiak 1 mailakoak dira.

Irreduzibilitate irizpideak

Polinomio bat irreduziblea den edo ez frogatzeko hainbat irizpide erabil daitezke, horien artean, erredukzio irizpidea, Gauss-en lema eta Einstein-en irizpidea aurki ditzakegu.

Lehen mailako polinomioak

Irreduzibleak dira beti, ${\displaystyle p(x)=q(x)r(x)}$ bada, ${\displaystyle deg(p)=deg(q)+deg(r)}$ delako eta ${\displaystyle deg(p)=1}$ denez eta ${\displaystyle deg(q),deg(r)\geq 1}$ izan behar duenez, ez da posible.

Bigarren edo hirugarren mailako polinomioak

Baldin eta ${\displaystyle deg(p)=2}$ edo ${\displaystyle deg(p)=3}$ bada, orduan ${\displaystyle p(x)}$ irreduziblea da ${\displaystyle K}$-ren gainean baldin eta soilik baldin ez badu errorik.

${\displaystyle Q}$ gorputzeko erroak

Baldin eta ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\in Z[x]}$ bada eta ${\displaystyle deg(p)\geq 2}$ bada, orduan ${\displaystyle P(x)}$-k ${\displaystyle Q}$-n ${\displaystyle \alpha =r/s}$ erroren bat izatekotan ${\displaystyle zkh(r,s)=1}$ izanik, derrigorrez, ${\displaystyle r|a_{0}}$ eta ${\displaystyle s|a_{n}}$ izan behar du.

Gaussen lema

Baldin eta ${\displaystyle p(x)\in Z[x]}$ bada, orduan ${\displaystyle Q[x]}$-n ${\displaystyle p(x)}$ polinomioa ${\displaystyle q(x),r(x)\in Q[x]}$ maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz daiteke, baldin eta soilik baldin ${\displaystyle q_{0}(x),r_{0}(x)\in Z[x]}$-ko maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz badaiteke. Hau da, ${\displaystyle Z}$ eta ${\displaystyle Q}$-n irreduzible izatea baliokidea da.

Einseinstein-en irizpide orokortua

Baldin eta ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\in Z[x]}$ bada, ${\displaystyle p\in N}$ zenbaki lehena bada, eta

• ${\displaystyle p|a_{0},p|a_{1},...,p|a{\scriptstyle {\text{r-1}}}}$ non ${\displaystyle 1\leq r\leq n}$
• ${\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}$
• ${\displaystyle p\nmid a_{r}}$

Orduan ${\displaystyle p(x)}$-k ${\displaystyle Z[x]}$ eraztunean ${\displaystyle r}$ edo ${\displaystyle r}$ baino maila handiagoko faktore irreduzible bat dauka. Bereziki, ${\displaystyle r=n}$ bada, ${\displaystyle p(x)}$ irreduziblea da ${\displaystyle Q[x]}$-ren gainean.

Kanpo estekak

• Datuak: Q1476663