Bézouten identitate

Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1=${\displaystyle ax+by=d}$ den.

Era berean, ${\displaystyle d=zkh(a,b)}$izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:

• Alde batetik, baldin eta ${\displaystyle n\neq 0}$ bada, orduan ${\displaystyle zkh(na,nb)=|n|zkh(a,b)}$dela .

• Bestalde, ${\displaystyle zkh(a/c,b/d)=1}$dela ziurtatzen du.

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion^[1]. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egitura

Bézouten identitateko (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) zenbakiak (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$)-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta ${\displaystyle d=zkh(a,b)}$ haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

${\displaystyle |x|\leq \left|{\frac {b}{d}}\right|}$ eta ${\displaystyle |y|\leq \left|{\frac {a}{d}}\right|}$

${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

${\displaystyle a(x-kb)+b(y+ka)=ax-kba+by+kba=ax+by}$.

Hortaz, (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako (${\displaystyle x'}$, ${\displaystyle y'}$) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

${\displaystyle x^{\prime }=x-kb,\qquad y^{\prime }=y+ka}$.

Adibidea

Izan bitez ${\displaystyle a=502}$ eta ${\displaystyle b=110}$ bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez ${\displaystyle (x,y)}$ Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den ${\displaystyle d=zkh(a,b)}$ kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:

${\displaystyle {\begin{aligned}&502=110(4)+62\quad \Rightarrow \quad 62=502(1)-110(4)\quad \Rightarrow \quad 62=502(1)+110(-4)\\&110=62(1)+48\quad \Rightarrow \quad 48=110(1)-62(1)\quad \Rightarrow \quad 48=110(1)+62(-1)\\&62=48(1)+14\quad \Rightarrow \quad 14=62(1)-48(1)\quad \Rightarrow \quad 14=62(1)+48(-1)\\&48=14(3)+6\quad \Rightarrow \quad 6=48(1)-14(3)\quad \Rightarrow \quad 6=48(1)+14(-3)\\&14=6(2)+2\quad \Rightarrow \quad 2=14(1)-6(2)\quad \Rightarrow \quad 2=14(1)+6(-2)\end{aligned}}}$

Hortaz, ${\displaystyle zkh(502,110)=2}$ da. Hondarrak atzera ordezkatuz, (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:

${\displaystyle {\begin{aligned}2&=502(x)+100(y)\\2&=14(1)+6(-2)\\&=[62(1)+48(-1)](1)+[48(1)+14(-3)](-2)\\&=[62(1)+48(-1)]+[48(-2)+14(6)]\\&=62(1)+48(-3)+14(6)\\&=[502(1)+110(-4)](1)+[110(1)+62(-1)](-3)+[62(1)+48(-1)](6)\\&=[502(1)+110(-4)](1)+[110(-3)+62(3)]+[62(6)+48(-6)]\\&=[502(1)+110(-7)+62(9)+48(-6)]\\&=[502(1)+110(-7)]+[502(9)+110(-36)+[110(-6)+62(-6)]]\\&=[502(10)+110(-49)+62(6)]\\&=[502(10)+110(-49)]+[502(1)+110(-4)](6)\\&=[502(10)+110(-49)]+[502(6)+110(-24)]\\&=502(16)+110(-73)\end{aligned}}}$

Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: ${\displaystyle x=16}$ eta ${\displaystyle y=-73}$.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea (${\displaystyle ax+by=d}$) betetzen dela:

${\displaystyle 502(16)+110(-73)=2}$.

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. ${\displaystyle k=1}$ baliorako, adibidez, honako beste (${\displaystyle x'}$, ${\displaystyle y'}$) koefiziente-parea lortuko dugu:

${\displaystyle x^{\prime }=x-kb=16-110=-94,\,\qquad y^{\prime }=y+ka=-73+502=429}$.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea (${\displaystyle ax+by=zkh(a,b)}$) betetzen dela:

${\displaystyle 502(-94)+110(429)=2}$.

Erreferentziak

Kanpo estekak

• EHU TB - Alderantzizkoen kalkulua Z/nZ moduko eraztunetan
• (Ingelesez) Online calculator of Bézout's identity.
• Wolfram MathWorld, Bézout's identity

• Datuak: Q513028