Alderantzizko elementu

Aljebran, multzoan definitutako eragiketa biderketa denean, alderantzizko elementua elementu baten simetrikoa da; ${\displaystyle a\,}$ elementuaren alderantzizko elementua ${\displaystyle a^{-1}\,}$ da hau betetzen badu:

${\displaystyle a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}$

${\displaystyle e\,}$ multzoaren elementu neutroa izanik (alegia, 1) eta ${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}$.

Adibideak

• ${\displaystyle 2\,}$ zenbakiaren alderantzizkoa zenbaki arrazionalen multzoan ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,}$ edo 0,5 da.
• i zenbaki irudikariaren alderantzizkoa -i da, zeren i·(-i)=1 baita.
• f funtzio baten alderantzizkoa, bijektiboa bada, g funtzioa da, f·g = g·f = I bada, non I identitate funtzioa den.

Eragiketa batuketa denean, aurkako elementu izena ematen zaio.

Elementu simetrikoa

Aljebra abstraktuan, ${\displaystyle A\,}$ multzo batean ${\displaystyle \circ }$ eragiketa definiturik badago, honela adierazita: ${\displaystyle (A,\circ )\,}$, ${\displaystyle \circ }$ eragiketa ${\displaystyle A\,}$ multzoko barne-eragiketa izanda:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\quad a\circ b\in A}$

eta ${\displaystyle e\,}$ elementu neutroa badago,

${\displaystyle \forall a\in A,\quad \exists e\in A:\quad a\circ e=e\circ a=a}$

Esaten da ${\displaystyle a\in A}$ elementuak daukala:

elementu simetriko ezker aldetik ${\displaystyle \circ }$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

${\displaystyle a\in A,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A:\quad {\overrightarrow {a}}\circ a=e}$

elementu simetriko eskuin aldetik ${\displaystyle \circ }$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

${\displaystyle a\in A,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A:\quad a\circ {\overleftarrow {a}}=e}$

elementu simetrikoa ${\displaystyle \circ }$ eragiketarekiko, elementu simetriko ezker aldetik eta eskuin aldetik existitzen bada, hau da:

${\displaystyle a\in A,\quad \exists {\bar {a}}\in A:\quad {\bar {a}}\circ a=a\circ {\bar {a}}=e}$

${\displaystyle A\,}$ multzoko elementu simetriko bat ${\displaystyle {\bar {a}}}$ simetrikoa da ${\displaystyle a\,}$ elementuaren eskuin aldetik eta ezker aldetik.

Kanpo estekak

• Datuak: Q338057