Vielfach-Zetafunktion

In der Mathematik sind Vielfach-Zetafunktionen (engl.: multiple zeta functions) eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion, definiert durch

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},}$

Obige Reihe konvergiert wenn ${\displaystyle Re(s_{1})+\ldots +Re(s_{i})>i}$ für alle ${\displaystyle i}$, sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch analytische Fortsetzung als meromorphe Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ definiert werden.

Die Werte für positive, ganzzahlige ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{k}}$ mit ${\displaystyle s_{1}>1}$ werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: multiple zeta values, MZVs) bezeichnet. Man nennt ${\displaystyle n=s_{1}+\ldots +s_{k}}$ das „Gewicht“ und ${\displaystyle k}$ die „Länge“ des Arguments.

Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach definiert. Euler bewies die Reduktionsformel für ${\displaystyle 1<s\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \zeta (s,1)={\frac {1}{2}}s\zeta (s+1)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{s-1}\zeta (k)\zeta (s+1-k)}$.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle \zeta (2,1)=\zeta (3)}$.

Allgemein kann man, wenn ${\displaystyle m+n}$ ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (m,n)}$ als rationale Linearkombination von ${\displaystyle \zeta (m+n)}$ und ${\displaystyle \zeta (k)\zeta (m+n-k)}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ darstellen.

Eine Vermutung von Alexander Goncharov besagte, dass die Perioden von über ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\frac {1}{2\pi i}}\right]}$-Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen.^[1] Für den Spezialfall des durch den Modulraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,n}}$ von Kurven des Geschlechts 0 mit ${\displaystyle n}$ markierten Punkten und die relative Kohomologie ${\displaystyle H^{l}({\overline {\mathcal {M}}}_{0,n}-A,B-B\cap A)}$ definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von Francis Brown 2007 in seiner Dissertation bewiesen.^[2] Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit.^[3]

1. ↑ Goncharov: Multiple polylogarithms and mixed Tate motives
2. ↑ Brown: Multiple zeta values and periods of moduli spaces, Annales Scientifiques de l´ENS, Band 42, 2009, S. 371–489, Abstract
3. ↑ Brown: Mixed Tate motives over Z

Deligne: "Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points" (PDF; 4,2 MB) erklärt den Zusammenhang zwischen gemischten Tate-Motiven und Vielfach-Zetafunktionen.