Verlet-Algorithmus

Der Verlet-Algorithmus ist eine Methode zur numerischen Lösung der Newton’schen Bewegungsgleichungen. Er entsteht aus dem Leapfrog-Verfahren durch Elimination der Geschwindigkeitsberechnungen. Der Verlet-Algorithmus wird oft bei Molekulardynamik-Simulationen in der theoretischen Chemie verwendet. Der Algorithmus ist nach Loup Verlet benannt.

Herleitung

Es werden zwei Taylor-Entwicklungen dritter Ordnung der Position ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ aufgestellt. Dabei wird eine davon vorwärts ${\displaystyle (t+\Delta t)}$ und eine rückwärts ${\displaystyle (t-\Delta t)}$ in der Zeit entwickelt. Hierbei ist ${\displaystyle {\vec {v}}}$ die Geschwindigkeit und ${\displaystyle {\vec {a}}}$ die Beschleunigung.

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {b}}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}{\vec {b}}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})}$

Addition der beiden Gleichungen ergibt

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$.

Dies ist die allgemeine Gleichung des Verlet-Algorithmus. Die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}(t)}$ hängt dabei vom Potenzial ${\displaystyle V}$ und der Masse des Teilchens ${\displaystyle m}$ ab, sie kann mit

${\displaystyle {\vec {a}}(t)=-{\frac {1}{m}}\nabla V(x(t))={\frac {\vec {F}}{m}}}$

bestimmt werden.

Anwendung

Ist die Position ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ bekannt, muss zuerst die Position ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$ über

${\displaystyle {\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\Delta t^{2}}$

bestimmt werden. Sind dann die Positionen ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ und ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$ bekannt, können über Iteration des Verlet-Algorithmus alle folgenden ${\displaystyle {\vec {x}}_{n}}$ bestimmt werden.

${\displaystyle {\vec {x}}_{n+1}=2{\vec {x}}_{n}-{\vec {x}}_{n-1}+{\vec {a}}_{n}\Delta t^{2}}$

Der Verlet-Algorithmus liefert nur Positionen und keine Geschwindigkeiten. Diese müssen deshalb extra bestimmt werden, um daraus ${\displaystyle E_{kin}}$ und damit die Gesamtenergie zu berechnen. Dies ist notwendig, um die Energieerhaltung zu überprüfen.

Weblinks

• Alexander Fulst, Christian Schwermann: Molekulardynamiksimulation. S. 7–10.
• Thomas Jacobsen: Advanced Character Physics. In: Gamasutra. (englisch)