Kinetische Monte-Carlo-Methode

Die kinetische Monte-Carlo-Methode ist eine hybride Monte-Carlo-Methode und besitzt als Input die Raten von Zustandsübergängen, womit (indirekt) die Zeit modelliert wird. Die kinematische Monte-Carlo-Methode und die dynamische Monte-Carlo-Methode sind weitgehend ident.[1] Verwandt ist auch der Gillespie-Algorithmus.

Für die Phasenübergangsrate wird die sogenannte Mastergleichung[2] verwendet:[2]

d P α ( t ) d t = ( ∑ β ≠ α W α β ⋅ P β ( t ) ) − ∑ β ≠ α W β α ⋅ P α ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {P}}_{\alpha }(t)}{\mathrm {d} t}}=\left(\sum _{\beta \neq \alpha }W_{\alpha \beta }\cdot {\mathcal {P}}_{\beta }(t)\right)-\sum _{\beta \neq \alpha }W_{\beta \alpha }\cdot {\mathcal {P}}_{\alpha }(t)}

Dabei sind Pα, Pβ die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Konfigurationen α und β und Wαβ und Wβα die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten.[2]

Zurückweisungslose kinetische Monte-Carlo-Simulation

Vorgangsweise bei der zurückweisungslosen kinetischen Monte-Carlo-Simulation:[3][4]

  1. Man definiert die Ausgangslage k {\displaystyle k} der Atome zum Zeitpunkt t = 0 {\displaystyle t=0} [3][4]
  2. Von allen N k {\displaystyle N_{k}} möglichen Übergängen in den nächsten Zustand i {\displaystyle i} werden die Übergangsraten r k , i ≥ 0 {\displaystyle r_{k,i}\geq 0} berechnet, wobei für Übergänge, die nicht eintreten, r k , i = 0 {\displaystyle r_{k,i}=0} gilt.
  3. Man bildet die Partialsumme R k , i {\displaystyle R_{k,i}} der Übergangsraten: R k , i = ∑ j = 1 i r k , j {\displaystyle R_{k,i}=\sum _{j=1}^{i}r_{k,j}} . Die Gesamtsumme der Übergangsraten ist Q k = R k , N k = ∑ j = 1 N k r k , j {\displaystyle Q_{k}=R_{k,N_{k}}=\sum _{j=1}^{N_{k}}r_{k,j}} .[4]
  4. Die Zustände werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 ≤ r k , i Q k ≤ 1 {\displaystyle 0\leq {\frac {r_{k,i}}{Q_{k}}}\leq 1} angenommen.
    • Man bestimmt eine Zufallszahl 0 < α ≤ 1 {\displaystyle 0<\alpha \leq 1} ,[4] es wird jener Übergang r k , i {\displaystyle r_{k,i}} gewählt, für den gilt: R k , i − 1 < α ⋅ Q k ≤ R k , i {\displaystyle R_{k,i-1}<\alpha \cdot Q_{k}\leq R_{k,i}} [4]
  5. Die Zeit wird auf t i = t k + Δ t {\displaystyle t_{i}=t_{k}+\Delta t} gesetzt, mit Δ t = ln ⁡ ( 1 / a ) Q k , {\displaystyle \Delta t={\frac {\ln(1/a)}{Q_{k}}},} [4][5] wobei a {\displaystyle a} eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 ist.[4]
  6. Man wiederholt die Schritte 2–5, bis das Abbruchkriterium erfüllt ist.

Einzelnachweise

  1. ↑ David Holec: 308.882 atomistic materials modelling. TU Wien, Wien November 2016 (tuwien.ac.at [abgerufen am 28. November 2016] techreport). 
  2. ↑ a b c Frank Michael Kuhn: Kinetische Monte Carlo - Simulationen von Reaktionen auf geträgerten Nanopartikeln. Hrsg.: O. Deutschmann, L. Kunz, S. Tischer. Institut für Technische Chemie und Polymerchemie der Fakultät für Chemie und Biowissenschaften; Karlsruher Institut für Technologie, Karlsruhe 8. November 2011, Kap. 2.2, S. 7–24 (73 S., kit.edu [PDF; 10,2 MB; abgerufen am 4. Juli 2017] Diplomarbeit). 
  3. ↑ a b Johannes Schlundt: Modellierung und Simulation Monte-Carlo-Simulation. (PDF) Universität Hamburg, 7. Januar 2013, S. 19–21, abgerufen am 4. Juli 2017. 
  4. ↑ a b c d e f g Johannes Schlundt: Schriftliche Ausarbeitung zum Vortrag Monte-Carlo-Simulation. (PDF) Universität Hamburg, 20. März 2013, S. 9–10, abgerufen am 4. Juli 2017. 
  5. ↑ Alfred B. Bortz, Malvin H. Kalos, Joel L. Lebowitz: A new algorithm for Monte Carlo simulation of Ising spin systems. In: Sammelwerk of Computational Physics. Band 17, Nr. 1. Elsevier, 1975, ISSN 0021-9991, S. 10–18, doi:10.1016/0021-9991(75)90060-1, bibcode:1975JCoPh..17...10B.