Higgs-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz a eine Primzahl ${\displaystyle Hp_{n}\in \mathbb {P} }$, bei der ${\displaystyle Hp_{n}-1}$ die ${\displaystyle a}$-te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs-Primzahlen teilt. Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$, dass die Higgs-Primzahl ${\displaystyle Hp_{n}}$ folgende Bedingung erfüllt:

${\displaystyle \varphi (Hp_{n})=Hp_{n}-1{\mbox{ teilt }}\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}{\mbox{ mit }}Hp_{n}>Hp_{n-1}}$

wobei ${\displaystyle \varphi (n)}$ die Eulersche Phi-Funktion ist (sie gibt für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ an, wie viele zu ${\displaystyle n}$ teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als ${\displaystyle n}$ sind; bei Primzahlen ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$).

Die Higgs-Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt.

• Die ersten Higgs-Primzahlen für die Potenz ${\displaystyle a=2}$ (also für Quadrate) sind die folgenden:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 107, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 263, 269, 277, 283, 311, 317, 331, 347, 349, 367, 373, 383, 397, 419, 421, 431, 461, 463, 491, 509, 523, 547, 557, 571, … (Folge A007459 in OEIS)

• Die Zahl ${\displaystyle Hp_{8}=23}$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=2}$, weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 19)^{2}=325550124900}$ die Zahl ${\displaystyle Hp_{8}-1=23-1=22}$ als Teiler hat (es ist ${\displaystyle 325550124900:22=14797732950}$).
• Die Zahl ${\displaystyle 17}$ ist keine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=2}$: das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13)^{2}=901800900}$ hat die Zahl ${\displaystyle 17-1=16}$ nicht als Teiler (es bleibt ${\displaystyle 4}$ Rest).
• Die Zahl ${\displaystyle 13}$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=6}$, weil die ${\displaystyle 6}$-te Potenz des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11)^{6}=151939915084881000000}$ die Zahl ${\displaystyle 13-1=12}$ als Teiler hat (es ist ${\displaystyle 151939915084881000000:12=12661659590406750000}$).
• Bei höheren Potenzen ${\displaystyle a}$ sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs-Primzahlen, sodass es sinnvoll erscheint, diejenigen Primzahlen anzugeben, welche nicht gleichzeitig Higgs-Primzahlen sind. Die folgende Tabelle gibt diese „Nicht-Higgs-Primzahlen“ bei gegebener Potenz ${\displaystyle a}$ bis zur 100. Higgs-Primzahl zur jeweiligen Potenz ${\displaystyle a}$ an:

Exponent ${\displaystyle a}$	100. Higgs- Primzahl	keine Higgs-Primzahlen für die Potenz ${\displaystyle a}$ bis zur 100. Higgs-Primzahl dieser Potenz
2	1117	17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823, 857, 877, 881, 887, 919, 929, 937, 953, 971, 977, 997, 1009, 1021, 1031, 1033, 1049, 1069, 1091, 1097 (insgesamt 87 Primzahlen)
3	733	17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487, 577, 593, 613, 619, 641, 647, 653, 673 (insgesamt 30 Primzahlen)
4	593	97, 193, 257, 353, 389, 449, 487, 577 (insgesamt 8 Primzahlen)
5	563	193, 257, 449
6	547	257
7	547	257
8	541	---

• Für die Potenz ${\displaystyle a=1}$ gibt es nur vier Higgs-Primzahlen:

2, 3, 7, 43

Beweis:

Angenommen, es gibt eine Primzahl ${\displaystyle p>2\cdot 3\cdot 7\cdot 43=1806}$ (die nächste ist ${\displaystyle p=1811}$), welche eine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=1}$ ist. Dann muss ${\displaystyle p-1\geq 1810}$ ein Teiler aller vorherigen Higgs-Primzahlen für die Potenz ${\displaystyle a=1}$, also von ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 7\cdot 43)^{1}=1806}$ sein. Dies kann aber nicht der Fall sein, weil ${\displaystyle p-1\geq 1810}$ kein Teiler der kleineren Zahl ${\displaystyle 1806}$ sein kann. Somit scheiden alle Primzahlen ${\displaystyle p\geq 1811}$ aus. Alle Primzahlen ${\displaystyle 1811>p>43}$ scheiden durch einfache Computer-Berechnungen aus. ${\displaystyle \Box }$

• Alle bekannten Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ sind keine Higgs-Primzahlen für die ${\displaystyle a}$-ten Potenzen mit ${\displaystyle a<2^{n}}$.

Beweis:

Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass

• die erste Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{0}=1}$ ist.
• die zweite Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{1}=2}$ ist.
• die dritte Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{2}=4}$ ist.
• die vierte Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{3}=8}$ ist.
• die fünfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{1}6+1=65537}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{4}=16}$ ist. ${\displaystyle \Box }$

• Etwa ein Fünftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs-Primzahlen.^[1]

Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus, dass, selbst wenn die Anzahl der Higgs-Primzahlen für die Potenz ${\displaystyle a=2}$ endlich ist, „eine Computerzählung nicht möglich ist“.

• Es ist nicht bekannt, ob unendlich viele Higgs-Primzahlen für Exponenten ${\displaystyle a\geq 2}$ existieren.

1. ↑ Stanley Burris, Simon Lee: Tarski's high school identities. American Mathematical Monthly 100 (3), 1993, S. 231–236, abgerufen am 2. Juli 2018.