Polinomis de Bernoulli

En matemàtiques, els polinomis de Bernoulli ${\displaystyle b_{n}(x)}$ es defineixen mitjançant la funció generatriu:

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

Apareixen en l'estudi de nombroses funcions especials, en particular de l'funció zeta de Riemann i de la funció zeta de Hurwitz. Els nombres de Bernoulli ${\displaystyle b_{n}}$ són els termes independents dels polinomis corresponents, ${\displaystyle b_{n}=B_{n}(0)}$.

La identitat ${\displaystyle B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^{k}\,}$ ens permet donar una forma tancada de la suma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{i^{k}}=1^{k}+2^{k}+\cdots +n^{k}={\frac {B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}}}$

Expressió explícita de polinomis de grau baix

${\displaystyle B_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle B_{1}(x)=x-1/2\,}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,}$

${\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,}$

${\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,}$

${\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,}$

${\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}\,}$.

Vegeu també

• Nombres de Bernoulli.

Referències

• Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Bernoulli Polynomial» a MathWorld (en anglès).

Nota