Dodecàedre xato

Infotaula de polítopDodecàedre xato
Model 3D
Tipuspolíedre arquimedià, políedre uniforme i políedre xato Modifica el valor a Wikidata
Forma de les carestriangle equilàter (80)
pentàgon regular (12) Modifica el valor a Wikidata
Símbol de Schläflisr{5,3} Modifica el valor a Wikidata
Dualhexacontàedre pentagonal Modifica el valor a Wikidata
Elements
Vèrtexs 60
Arestes 150
Cares 92 Modifica el valor a Wikidata
Més informació
MathWorldSnubDodecahedron Modifica el valor a Wikidata

En geometria, el dodecàedre xato és un dels tretze políedres arquimedians.

Té 92 cares, 12 de les quals són pentagonals i 80 triangulars, 150 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtexs hi concorren una cara pentagonal i quatre cares triangulars.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre xato tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

A = a 2 15 ( 95 + 6 5 + 8 15 ( 5 + 2 5 ) ) V = x a 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&A=a^{2}{\sqrt {15\left(95+6{\sqrt {5}}+8{\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}\\&V=xa^{3}\\\end{aligned}}}

On x és l'arrel real positiva del polinomi:

P ( x ) = 187.445.810.737.515.625 − 182.124.351.550.575.000 x 2 + 6.152.923.794.150.000 x 4 + 1.030.526.618.040.000 x 6 + 162.223.191.936.000 x 8 − 3.195.335.070.720 x 10 + 2.176.782.336 x 12 {\displaystyle {\begin{aligned}P\left(x\right)&=187.445.810.737.515.625-182.124.351.550.575.000x^{2}\\&+6.152.923.794.150.000x^{4}+1.030.526.618.040.000x^{6}\\&+162.223.191.936.000x^{8}-3.195.335.070.720x^{10}+2.176.782.336x^{12}\\\end{aligned}}}

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes

Els radis R, r i ρ {\displaystyle \rho } de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

R = a x P ( x ) = 209 − 2.696 x 2 + 13.872 x 2 − 35.776 x 6 + 47.104 x 8 − 27.648 x 10 + 4.096 x 12 r = a x P ( x ) = 1 − 128 x 2 + 6.384 x 4 − 149.376 x 6 + 1.443.072 x 8 − 3.900.416 x 10 + 856.064 x 12 ρ = a x P ( x ) = 1 − 40 x 2 + 624 x 4 − 4.672 x 6 + 16.384 x 8 − 21.504 x 10 + 4.096 x 12 {\displaystyle {\begin{aligned}&R=ax\\&P(x)=209-2.696x^{2}+13.872x^{2}-35.776x^{6}+47.104x^{8}-27.648x^{10}+4.096x^{12}\\&r=ax\\&P(x)=1-128x^{2}+6.384x^{4}-149.376x^{6}+1.443.072x^{8}-3.900.416x^{10}+856.064x^{12}\\&\rho =ax\\&P\left(x\right)=1-40x^{2}+624x^{4}-4.672x^{6}+16.384x^{8}-21.504x^{10}+4.096x^{12}\\\end{aligned}}}

On a cada expressió, x és l'arrel real positiva del polinomi que es presenta a continuació. On a és la longitud de les arestes.

Dualitat

El políedre dual del dodecàedre xato és l'hexacontàedre pentagonal.

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla del dodecàedre xato


Políedres relacionats

El dodecàedre xato es pot obtenir a partir del dodecàedre expandint les 12 cares pentagonals i llavors girant-les lleugerament fins que l'espai entre ells es pugui omplir amb corones de triangles equilàters.

Dodecàedre
Dodecàedre
 Dodecàedre expandit rombicosidodecàedre
Dodecàedre expandit
rombicosidodecàedre
 Dodecàedre xato
Dodecàedre xato

Quiralitat

El dodecàedre xato és un políedre quiral: es presenta en dues formes que són mútuament la imatge especular l'una de l'altre. L'únic altre polígon arquimedià quiral és el cub xato.

Vegeu també

Bibliografia

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
  • Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Dodecàedre xato
  • Políedres I Arxivat 2009-05-09 a Wayback Machine. Pàgina 13
  • Políedres arquimedians Arxivat 2008-08-27 a Wayback Machine.
  • Paper models of Archimedean solids