Convergència absoluta

Es diu que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ és absolutament convergent si la sèrie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty }$.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

${\displaystyle a_{n}\leq |a_{n}|}$

${\displaystyle |a_{n}|}$

${\displaystyle a_{n}}$

Per les propietats del valor absolut, podem considerar:

${\displaystyle -|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|}$

Sumem ${\displaystyle |a_{n}|}$ terme a terme en la desigualtat:

${\displaystyle |a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|}$

És a dir, ${\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$.

Ara apliquem ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}$ membre a membre:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0\leq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }2|a_{n}|}$

Per hipòtesi, ${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ convergeix. Llavors, pel criteri de comparació, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|}$ també convergeix.(1)

Ara, considerem ${\displaystyle a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|}$:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]-\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]}$ convergeix per (1).

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ convergeix per hipòtesi.

Aleshores ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ convergeix per ser diferència de sèries convergents.